2017考研數(shù)學(xué):線性代數(shù)之向量與線性方程組詳解
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1、齊次線性方程組與向量線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系
齊次線性方程組可以直接看出一定有解,因?yàn)楫?dāng)變量都為零時等式一定成立——印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。
齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況:
①有唯一零解;
②有非零解。
當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時,是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立,而當(dāng)齊次線性方程組有非零解時,存在不全為零的變量使上式成立;但向量部分中判斷向量組是否線性相關(guān)、無關(guān)的定義也正是由這個等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系——齊次線性方程組是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關(guān)??梢栽O(shè)想線性相關(guān)、無關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。
2、齊次線性方程組的解與秩和極大無關(guān)組的聯(lián)系
同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)”。經(jīng)過 “秩→線性相關(guān)、無關(guān)→線性方程組解的判定”的邏輯鏈條,就可以判定列向量組線性相關(guān)時,齊次線性方程組有非零解,且齊次線性方程組的解向量可以通過r個線性無關(guān)的解向量(基礎(chǔ)解系)線性表示。
3、非齊次線性方程組與線性表出的聯(lián)系
非齊次線性方程組是否有解對應(yīng)于向量是否可由列向量組線性表示,使等式成立的一組數(shù)就是非齊次線性方程組的解。
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