2020考研線性代數(shù)必考題型之【向量與線性方程組】
向量和線性方程組是考研的必考題型之一,幾乎每年必考,當(dāng)然這部分內(nèi)容也是各位考生既熟悉又陌生的一章,跨考數(shù)學(xué)教研室田老師今天就為大家介紹一下這一章,讓這個熟悉的陌生人變成熟人。
向量是線性代數(shù)的核心內(nèi)容之一,是研究線性方程組的解而引入的工具,在考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)這一科目中出題頻率很高,屬于每年必考題型,考查方式為選擇題和解答題,分值4分到11分不等。
向量是數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二和數(shù)學(xué)三均考查的內(nèi)容,根據(jù)考試大綱,數(shù)學(xué)一比數(shù)學(xué)二和數(shù)學(xué)三的考試內(nèi)容多了一個考點(diǎn)。多出的考試內(nèi)容包括:“了解向量空間、子空間、基底、維數(shù)及坐標(biāo)等概念,了解基變換及坐標(biāo)變換公式,會求過渡矩陣”,這些內(nèi)容雖然考試的頻率不高,但考數(shù)學(xué)一的考生也應(yīng)了解其概念和掌握基本計算方法。
??碱}型如下:第一,判斷或證明向量組的線性相關(guān)性。對于抽象向量組來說,主要利用向量組的定義即向量組對應(yīng)的齊次線性方程組有無非零解來判定;而對于數(shù)值型向量組來說,主要利用向量組所構(gòu)成的矩陣的秩或行列式來判定。第二,判斷某個向量是否可由一組向量線性表示,以及求其表達(dá)式,這類題目完全可以轉(zhuǎn)換為非齊次線性方程組是否有解,有解時求其所有的解來解決。第三,求向量組的極大線性無關(guān)性,并寫出其他向量由極大線性無關(guān)組的表達(dá)式。對列向量組構(gòu)成的矩陣進(jìn)行初等行變換,化為行最簡形矩陣即可。第四,判斷或證明向量組之間是否等價。一般用定義來證,也就是證明它們可以互相線性表示。
線性方程組是線性代數(shù)的另一核心考點(diǎn)??荚囍校€性方程組的內(nèi)容往往以解答題的形式出現(xiàn),分值為11分。
??碱}型如下:第一,齊次線性方程組有無零解和非齊次線性方程組是否有解的判定。對于齊次線性方程組,當(dāng)方程組的方程個數(shù)和未知量的個數(shù)不等時,可以按照系數(shù)矩陣的秩和未知量個數(shù)的大小關(guān)系來判定,還可以利用系數(shù)矩陣的列向量組是否相關(guān)來判定;當(dāng)方程組的方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同時,可以利用系數(shù)行列式與零的大小關(guān)系來判定,還可以利用系數(shù)矩陣有無零特征值來判定;對于非齊次線性方程組,可以利用系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩是否相等即有關(guān)矛盾方程來判定,還可以從一個向量可否由一向量組線性表出來判定;當(dāng)方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等時,可以利用系數(shù)行列式是否為零來判定非齊次線性方程組的唯一解情況;今年的考題就體現(xiàn)了這種思想。 第二,齊次線性方程組的非零解的結(jié)構(gòu)和非齊次線性方程組解的的無窮多解的結(jié)構(gòu)問題。如果齊次線性方程組有無窮多個非零解時,其通解是由其基礎(chǔ)解系來表示的;如果非齊次線性方程組有無窮多解時,其通解是由對應(yīng)的齊次線性方程組和通解加本身一個特解所構(gòu)成;第三,齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的求解與證明。利用系數(shù)矩陣的極大線性無關(guān)組的內(nèi)容進(jìn)行分析;第四,齊次(非齊次)線性方程組的求解(含對參數(shù)取值的討論)。如果方程組的方程個數(shù)和未知量個數(shù)不相等時,只能對其系數(shù)矩陣或增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,化為階梯形矩陣來進(jìn)行討論;如果方程組的方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同時,初等行變換和行列式可以結(jié)合起來一起進(jìn)行分析和討論;第五,兩個方程組的公共解、通解問題。這部分有固定解法,考生要多加練習(xí)。由于這部分常以大題出現(xiàn),分值較高,需要考生提高警惕,在理解的基礎(chǔ)上多做題。
以上就是向量和方程組這一章的特點(diǎn),希望給位考生學(xué)習(xí)過程中多加總結(jié)、留心,定能學(xué)好!
(本文為跨考教育教研室田小輝老師原創(chuàng),轉(zhuǎn)載請注明出處。)
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