2018考研數(shù)學(xué)：線性代數(shù)基礎(chǔ)階段復(fù)習(xí)指導(dǎo)

　　暑期臨近，各科目的復(fù)習(xí)都已開始。線性代數(shù)是考研數(shù)學(xué)公共課必考的知識點，考研的同學(xué)都知道，這部分內(nèi)容特點是系統(tǒng)，前后知識的聯(lián)系非常緊密，概念性很強(qiáng)，對于抽象性與邏輯性有較高的要求，題型比較固定。那考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)基礎(chǔ)階段復(fù)習(xí)改如何進(jìn)行呢?以下從三方面講一講基礎(chǔ)階段如何復(fù)習(xí)好線性代數(shù)。

　　一掌握基本概念，建立知識框架。

　　1掌握基本概念

　　在線代中，定義特別重要，定義往往是掌握原理的出發(fā)點的，例如線性相關(guān)無關(guān)，矩陣的關(guān)系中等價，相似，合同等。把這些說法用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)格的表示出來就是定義，然后再分析相互之間有甚聯(lián)系?？佳袛?shù)學(xué)中會出現(xiàn)一些考察說法的選擇題，這類題就是專撿那些易混淆部分來考的，命題人可謂是挖空心思，無孔不入，大家可以翻翻歷年真題看看就明白了。

　　線性代數(shù)的概念很多，重要的概念有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

　　2弄清聯(lián)系和區(qū)別

　　線性代數(shù)內(nèi)容前后聯(lián)系緊密，相互滲透，各知識點之間有著千絲萬縷的聯(lián)系。因此解題方法靈活多變.記住知識點不是難事，但要把握好知識點的相互聯(lián)系，非得下一番功夫不可。首先要把握定理和公式成立的條件，一定要注意同時把某一知識點對應(yīng)的適用條件也掌握好!對知識點的掌握最好要掌握原理，而不僅僅是強(qiáng)記，個人覺得這兩者是結(jié)合起來的吧，能掌握原理的就掌握原理，如果實在不能在短時間內(nèi)掌握再強(qiáng)記。對于知識點涉及的定理等最好是自己給出證明，例如秩的相關(guān)結(jié)論的證明，這些證明往往非常簡單，幾行字就能解決問題，但對加深知識概念理解和基本方法運(yùn)用非常有用。

　　再者要弄清知識點之間的縱橫聯(lián)系，這和高數(shù)的學(xué)習(xí)方法有很大不同，例如：等價、相似、合同之間相互有無關(guān)系?比如等價是否一定相似，相似是否一定合同，反過來呢?這些一定要搞清楚，不能一知半解。再如向量的線性表示與非齊次線性方程組解的討論之間的聯(lián)系;向量的線性相關(guān)(無關(guān))與齊次線性方程組有非零解(僅有零解)的討論之間的聯(lián)系;實對稱陣的對角化與實二次型化標(biāo)準(zhǔn)型之間的聯(lián)系等。另外還有容易混淆的地方，如矩陣的等價和向量組的等價之間的關(guān)系，線性相關(guān)與線性表示等。掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，對大家做線性代數(shù)部分的大題也有很大的幫助。

　　強(qiáng)烈建議大家在復(fù)習(xí)過程中自己多總結(jié)，既要記得知識點，有要注意把某一知識點對應(yīng)的適用條件也掌握好，還要把握知識點之間的聯(lián)系和區(qū)別。只有同時把這幾方面把握住了，概念這一塊才算過關(guān)，才算打好了基礎(chǔ)。

　　3建立知識框架

　　基礎(chǔ)階段線代要大概圍繞以下內(nèi)容建立知識框架，即線性方程組，向量，秩，矩陣運(yùn)算。建立知識框架，類似于圍棋中的布局，要想下好棋，大局觀非常重要，這在線性代數(shù)尤其重要.

　　線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點：線性方程組，線代貫穿的主線就是求方程組的解，換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學(xué)科，不管是向量的線性相關(guān)，線性表示，還是求特征向量，都是圍繞線性方程組。關(guān)于線性方程組的解，有三個問題值得討論：(1)、方程組是否有解，即解的存在性問題;(2)、方程組如何求解，有多少個解;(3)方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問題。

　　線性方程組求解主要是高斯消元法，在利用求解的過程中涉及到一種重要的運(yùn)算，即把某一行的倍數(shù)加到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項判斷它有沒有解，有多少解的問題，需要定義這樣的運(yùn)算，這提示我們可以把問題轉(zhuǎn)為直接研究這種對n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運(yùn)算，即向量。例如大家可以通過一些簡單例子體會線性相關(guān)和線性無關(guān)(零向量一定線性無關(guān)、單個非零向量線性無關(guān)、單位向量組線性無關(guān)等等)。也可以從多個角度(線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度)體會線性相關(guān)和線性無關(guān)的本質(zhì)。這部分內(nèi)容概念多，定理性質(zhì)也多，光憑記憶是很難掌握的。

　　秩是一個非常深刻而重要的概念，就可以判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，有了秩的概念以后，我們可以把線性相關(guān)的向量組用它的極大線性無關(guān)組來替換掉，從而得到線性方程組的有解的充分必要條件：若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無解。秩的靈活運(yùn)用，充分體現(xiàn)了線性代數(shù)重推理和抽象性強(qiáng)的特點，同學(xué)們在做題時要好好體會，因此有必要進(jìn)一步好好研究向量組的秩的計算方法。

　　在研究線性方程組的解的過程當(dāng)中，同學(xué)們注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應(yīng)用，故還有必要對矩陣及其運(yùn)算進(jìn)行專門研究，建立這方面的知識框架。

　　4做題鞏固

　　初步掌握知識點以后要做什么?自然是用于解題了，做題一定要建立在完成知識點的總結(jié)的基礎(chǔ)上，不能光傻傻的看書，這樣你會一直沒有進(jìn)步，一定要拿起筆，書上寫得再好也還是編者老師的東西，只有自己總結(jié)的才是自己的。一定要完成指定習(xí)題，最好把鞏固習(xí)題也完成，做題會鞏固知識點，發(fā)現(xiàn)自己存在的問題，逐步提高自己的解題能力。最好將自己的總結(jié)筆記分成兩類，一類是知識點筆記，一類是題型思路歸納(題型研究是強(qiáng)化階段課程的主要內(nèi)容，但現(xiàn)在，同學(xué)們自己應(yīng)慢慢學(xué)會歸納)，這樣一來反饋學(xué)習(xí)效果更明顯，思路更清晰。一定要加強(qiáng)訓(xùn)練，做題鞏固 ，并注重邏輯性與敘述表述。

　　二熟練基本運(yùn)算，提高運(yùn)算能力。

　　線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān)，重要的運(yùn)算有：行列式(數(shù)字型、抽象型)的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。

　　這里所說的運(yùn)算能力包括速度和準(zhǔn)確率兩個方面，同學(xué)們經(jīng)常有這樣的體會，一張數(shù)學(xué)卷子發(fā)下來，題目都會做，都有思路，但是一做起來就漏洞百出，總有地方出錯，結(jié)果時間自然不夠。歸根結(jié)底就是因為自己平時從來不練，看到一道題，先想思路，如果方法上沒有什么障礙的話就認(rèn)為不會有問題了，其實事實上如果真的動手去做很可能發(fā)現(xiàn)并非想象那么簡單。我的建議是：書后習(xí)題不用全做，只做老師計劃中指定的題即可。其實線代的運(yùn)算方式只有行列式、初等變換和矩陣的乘法這三種基本計算，一定要練到熟得不能再熟，基本不出錯的地步。運(yùn)算速度到后期顯得比較重要，因為沖刺階段都是要整張卷子的做，這時不僅要分配好各部分題目的時間，而且要確保能在預(yù)計的時間里完成相應(yīng)的任務(wù)，否則會對個人的情緒產(chǎn)生影響。線代兩道大題，閱卷時發(fā)現(xiàn)，很少有不會動筆的，但得滿分的卻不多。

　　三綜合分析思維，方法靈活多變。

　　由于考研數(shù)學(xué)的知識點涉及面很廣，而一張卷子能考查的覆蓋面是有限的，那很自然會在綜合要求上有所提高，大家經(jīng)常發(fā)現(xiàn) 線代的一道題可以覆蓋幾乎六章的內(nèi)容，而且可以用不同的方法解答。

　　學(xué)好線代的最關(guān)鍵要點在于“見一反三”，即面對同一個數(shù)學(xué)事實，都要能夠從線性方程組、向量和矩陣三個角度來表述和理解它，以便于根據(jù)解決問題的需要選擇合適的切入點。所以在基礎(chǔ)階段后期大家可以在老師的指導(dǎo)下有意識地訓(xùn)練自己的綜合分析思維，并逐步選做一些綜合性的習(xí)題，這樣大家就會逐步掌握做題的思路、方法、技巧。

　　相信大家通過以上階段的復(fù)習(xí)，并不斷地歸納總結(jié)，初步搞清知識點的內(nèi)在聯(lián)系，就能逐步使所學(xué)知識融會貫通，這就為強(qiáng)化階段的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)。