2016考研數學考試分析之高頻大題(三)

最后更新時間:2015-12-27 19:30:14
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劉緯宇——數學教研室

(書接上回)

若選擇了極坐標系,那接下來干什么?要選擇積分次序嗎?不用選,肯定是先對r積分后對角度積分,另一種次序的積分幾乎沒出現過。再往后就是定限了。極坐標系下定限可以簡單概括為:從原點出發(fā)畫一條射線穿過積分區(qū)域,與積分區(qū)域的邊界有兩個交點,這兩個交點的r坐標即為第一次積分的積分上下限(把交點的r坐標用角度表示)。接下來,讓剛才畫的這條射線繞著原點旋轉,直到與積分區(qū)域的邊界相切,這兩條切線對應的角度即為第二次積分的積分上下限。

若選擇了直角坐標系,那接下來要選擇積分次序。又涉及到選擇了,當然是一看積分區(qū)域,二看被積函數??捶e分區(qū)域的原則是避免分類討論,看被積函數的原則是讓第一次積分簡單。次序選完后,就進入到收官階段——定限了。直角坐標系下定限可以簡單概括為:先對誰積分就畫一條平行于哪個坐標軸的直線,穿過積分區(qū)域,與積分區(qū)域的邊界有兩個交點。這兩個交點就對應著第一次積分的積分上下限。接下來,讓剛才畫的這條直線平行移動,直到與積分區(qū)域的邊界相切。這兩條切線就對應著第二次積分的積分上下限。

五、冪級數求和、展開

處理此類問題可以從兩方面把握:工具和思路。

工具包括一般函數f(x)的泰勒級數、常見函數的泰勒級數和逐項求導、積分定理。把這三部分內容理解到位是處理求和、展開問題的前提。

函數展開成冪級數有兩種方法:直接法和間接法。絕大部分真題用的是間接法。所謂間接法,即記住常用函數的泰勒展開公式,然后看題目所給函數跟哪個公式像,則朝該公式的方向變形。變形的方式包括基本變形(如裂項)和求導、求積。后一種變形方式考頻更高。此種變形也可以這么理解:題目所給函數直接套公式不行,也不能通過基本變形后套公式,那就考慮求導數或求積分,把運算后的函數套公式展開成冪級數,然后做逆運算還原。

冪級數求和實質是函數展開成冪級數的逆過程,類似考慮即可。

(未完待續(xù))

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