2016考研數學考試分析之高頻大題(三)

劉緯宇——數學教研室

(書接上回)

若選擇了極坐標系，那接下來干什么?要選擇積分次序嗎?不用選，肯定是先對r積分后對角度積分，另一種次序的積分幾乎沒出現過。再往后就是定限了。極坐標系下定限可以簡單概括為：從原點出發(fā)畫一條射線穿過積分區(qū)域，與積分區(qū)域的邊界有兩個交點，這兩個交點的r坐標即為第一次積分的積分上下限(把交點的r坐標用角度表示)。接下來，讓剛才畫的這條射線繞著原點旋轉，直到與積分區(qū)域的邊界相切，這兩條切線對應的角度即為第二次積分的積分上下限。

若選擇了直角坐標系，那接下來要選擇積分次序。又涉及到選擇了，當然是一看積分區(qū)域，二看被積函數?？捶e分區(qū)域的原則是避免分類討論，看被積函數的原則是讓第一次積分簡單。次序選完后，就進入到收官階段——定限了。直角坐標系下定限可以簡單概括為：先對誰積分就畫一條平行于哪個坐標軸的直線，穿過積分區(qū)域，與積分區(qū)域的邊界有兩個交點。這兩個交點就對應著第一次積分的積分上下限。接下來，讓剛才畫的這條直線平行移動，直到與積分區(qū)域的邊界相切。這兩條切線就對應著第二次積分的積分上下限。

五、冪級數求和、展開

處理此類問題可以從兩方面把握：工具和思路。

工具包括一般函數f(x)的泰勒級數、常見函數的泰勒級數和逐項求導、積分定理。把這三部分內容理解到位是處理求和、展開問題的前提。

函數展開成冪級數有兩種方法：直接法和間接法。絕大部分真題用的是間接法。所謂間接法，即記住常用函數的泰勒展開公式，然后看題目所給函數跟哪個公式像，則朝該公式的方向變形。變形的方式包括基本變形(如裂項)和求導、求積。后一種變形方式考頻更高。此種變形也可以這么理解：題目所給函數直接套公式不行，也不能通過基本變形后套公式，那就考慮求導數或求積分，把運算后的函數套公式展開成冪級數，然后做逆運算還原。

冪級數求和實質是函數展開成冪級數的逆過程，類似考慮即可。

(未完待續(xù))