考研數(shù)學(xué)之極限、連續(xù)與求極限重點

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2017考研已拉開序幕，其中考研數(shù)學(xué)是考生頗為頭疼的一科，因此跨考教育數(shù)學(xué)教研室郭靜娟老師為考生詳細(xì)講解一下極限、連續(xù)與求極限的復(fù)習(xí)重點，希望考生能夠在復(fù)習(xí)中少走彎路，有效的復(fù)習(xí)。

1.微積分中研究的對象是函數(shù)。

函數(shù)概念的實質(zhì)是變量之間確定的對應(yīng)關(guān)系。變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，就看是否存在一種對應(yīng)規(guī)則，使得其中一個量或幾個量定了，另一個量也就被唯一確定，前者是一元函數(shù)，后者是多元函數(shù)。

函數(shù)這部分的重點是：復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和分段函數(shù)、函數(shù)記號的運算及基本初等函數(shù)與其圖象。

2.極限是微積分的理論基礎(chǔ)。

研究函數(shù)的性質(zhì)實質(zhì)上是研究各種類型的極限，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)等等。由此可見極限的重要性。本章的重點內(nèi)容是極限。既要準(zhǔn)確理解極限的概念、性質(zhì)和極限存在的條件，又要能準(zhǔn)確地求出各種極限。求極限的方法很多，綜合起來主要有：

⑴利用極限的四則運算與冪指數(shù)運算法則;

⑵利用函數(shù)的連續(xù)性;

⑶利用變量替換與兩個重要極限;

⑷利用等價無窮小因子替換;

⑸利用洛必達(dá)法則;

⑹分別求左、右極限;

⑺數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限;

⑻利用適當(dāng)放大縮小法;

⑼對遞歸數(shù)列先證明極限存在(常用到“單調(diào)有界數(shù)列有極限”的準(zhǔn)則)，再利用遞歸關(guān)系求出極限;

⑽利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限;

⑾利用泰勒公式;

⑿利用定積分求n項和式的極限.

3.無窮小就是極限為零的變量。

極限問題可歸結(jié)為無窮小問題。極限方法的重要部分是無窮小分析，或說無窮小階的估計與分析。要理解無窮小及其階的概念，學(xué)會比較無窮小的階及確定無窮小階的方法，會用等價無窮小因子替換求極限。

4.連續(xù)函數(shù)或除若干點外是連續(xù)的函數(shù)。

由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限定義的，所以判斷函數(shù)是否連續(xù)及函數(shù)間斷點的類型等問題本質(zhì)上仍是求極限。因此這部分也是本章的重點。要掌握判斷函數(shù)連續(xù)性及間斷點類型的方法，特別是分段函數(shù)在連接點處的連續(xù)性。

函數(shù)的其他許多性質(zhì)都與連續(xù)性有關(guān)，因此我們要了解連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)——有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理，最大值、最小值定理和中間值(介值)定理，并會應(yīng)用這些性質(zhì)。