2021考研數(shù)學(xué)大綱高數(shù)必備定理:函數(shù)與極限
考研大綱是考研復(fù)習(xí)的指向標(biāo),雖然2021考研數(shù)學(xué)大綱還未發(fā)布,但是大家可以按照舊大綱進(jìn)行復(fù)習(xí)。高等數(shù)學(xué)是考研數(shù)學(xué)內(nèi)容最多的一部分,要想拿分,須把一些定理記牢。因此針對(duì)2021考研高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí),小編整理了2021考研數(shù)學(xué)備考高數(shù)必備定理,供大家參考。
函數(shù)與極限
1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界,K1為下界;如果有f(x)≤K2,則有上界,K2稱(chēng)為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。
2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。
定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂,那么數(shù)列{xn}一定有界。
如果數(shù)列{xn}無(wú)界,那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散;但如果數(shù)列{xn}有界,卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂,例如數(shù)列1,-1,1,-1,(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散,所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。
定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列{xn}收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的,如數(shù)列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1,{xnk}收斂于-1,{xn}卻是發(fā)散的;同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。
3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中
定理(極限的局部保號(hào)性)如果lim(x→x0)時(shí)f(x)=A,而且A>0(或A0(或f(x)>0),反之也成立。
函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等則limf(x)不存在。
一般的說(shuō),如果lim(x→∞)f(x)=c,則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞,則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。
4、極限運(yùn)算法則定理:有限個(gè)無(wú)窮小之和也是無(wú)窮小;有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小;常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小;有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小;定理如果F1(x)≥F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a≥b.
5、極限存在準(zhǔn)則:兩個(gè)重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿(mǎn)足下列條件:yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,對(duì)于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。
單調(diào)有界數(shù)列必有極限。
6、函數(shù)的連續(xù)性:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在,且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0),即lim(x→x0)f(x)=f(x0),那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。
不連續(xù)情形:1、在點(diǎn)x=x0沒(méi)有定義;2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在,但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時(shí)則稱(chēng)函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。
如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn),但左極限及右極限都存在,則稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱(chēng)可去間斷點(diǎn),不相等者稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn))。非第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn))。
定理有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。
定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù),那么它的反函數(shù)x=f(y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。
定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn),那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。
定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,即m≤f(x)≤M.定理(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(hào)(即f(a)×f(b)
推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。
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