2018考研數(shù)學(xué):線代各章節(jié)復(fù)習(xí)建議
線性代數(shù)總共分為六章。
第一章行列式
本章的考試重點(diǎn)是行列式的計算,考查形式有兩種:一是數(shù)值型行列式的計算,二是抽象型行列式的計算.另外數(shù)值型行列式的計算不會單獨(dú)的考大題,考選擇填空題較多,有時出現(xiàn)在大題當(dāng)中的一問或者是在大題的處理其他問題需要計算行列式,題目難度不是很大。主要方法是利用行列式的性質(zhì)或者展開定理即可。而抽象型行列式的計算主要:利用行列式的性質(zhì)、利用矩陣乘法、利用特征值、直接利用公式、利用單位陣進(jìn)行變形、利用相似關(guān)系。06、08、10、12年、13年的填空題均是抽象型的行列式計算問題,14年選擇考了一個數(shù)值型的矩陣行列式,15、16年的數(shù)一、三的填空題考查的是一個n行列式的計算,。今年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三這塊都沒有涉及。
第二章矩陣
本章的概念和運(yùn)算較多,而且結(jié)論比較多,但是主要以填空題、選擇題為主,另外也會結(jié)合其他章節(jié)的知識點(diǎn)考大題。本章的重點(diǎn)較多,有矩陣的乘法、矩陣的秩、逆矩陣、伴隨矩陣、初等變換以及初等矩陣等。其中06、09、11、12年均考查的是初等變換與矩陣乘法之間的相互轉(zhuǎn)化,10年考查的是矩陣的秩,08年考的則是抽象矩陣求逆的問題,這幾年考查的形式為小題,而13年的兩道大題均考查到了本章的知識點(diǎn),第一道題目涉及到矩陣的運(yùn)算,第二道大題則用到了矩陣的秩的相關(guān)性質(zhì)。14的第一道大題的第二問延續(xù)了13年第一道大題的思路,考查的仍然是矩陣乘法與線性方程組結(jié)合的知識,但
是除了這些還涉及到了矩陣的分塊。16年只有數(shù)二了矩陣等價的判斷確定參數(shù)。
第三章向量
本章是線代里面的重點(diǎn)也是難點(diǎn),抽象、概念與性質(zhì)結(jié)論比較多。重要的概念有向量的線性表出、向量組等價、線性相關(guān)與線性無關(guān)、極大線性無關(guān)組等。復(fù)習(xí)的時候要注意結(jié)構(gòu)和從不同角度理解。做題重心要放在問題轉(zhuǎn)換上面。出題方式主要以選擇與大題為主。這一章無論是大題還是小題都特別容易出考題,06年以來每年都有一道考題,不是向量組的線性表出就是向量組的線性相關(guān)性的判斷,10年還考了一道向量組秩的問題,13年考查的則是向量組的等價,14年的選擇題則考查了向量組的線性無關(guān)性。15年數(shù)一第20題結(jié)合向量空間的基問題考查了向量組等價的問題。16年數(shù)數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二23題考的同樣的題,第二問考向量組的線性表示的問題。今年17年
第四章線性方程組
主要考點(diǎn)有兩個:一是解的判定與解的結(jié)構(gòu)、二是求解方程??疾斓姆绞竭€是比較固定,直接給方程討論解的情況、解方程或者通過其他的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性方程組、矩陣方程的形式來考。06年以來只有11年沒有出大題,其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題,13年考查的第一道大題考查的形式不是很明顯,但也是線性方程組求解的問題。14年的第一道大題就是線性方程組的問題,15年選擇題考查了解的判定,數(shù)二、數(shù)三同一個大題里面考查了矩陣方程的問題。16年數(shù)一第20題矩陣方程解的判斷和求解,數(shù)三第20題與數(shù)二第22題直接考線性方程解的判斷和求解,數(shù)一第21題第二問解矩陣方程。16年數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二第23題第二問直接考矩陣方程解求解, 基本都不需要大家做轉(zhuǎn)換。今年數(shù)一、數(shù)三第20題、數(shù)二第22題第二問題都考了抽象的線性方程的求解問題。
第五章矩陣
矩陣的特征值與特征向量,每年大題都會涉及這章的內(nèi)容??即箢}的時候較多。重點(diǎn)考查三個方面,一是特征值與特征向量的定義、性質(zhì)以及求法;二是矩陣的相似對角化問題,三是實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)以及正交相似對角化的問題。要的實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)與正交相似對角化問題可以說每年必考, 09、10、11、12、13年都考了。14考查的則是矩陣的相似對角化問題,是以證明題的形式考查的。15年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三選擇題結(jié)合二次型正交化特點(diǎn)然后結(jié)合特征值定義考查;大題也是有一個題目相同,都是矩陣相似,然后對角化問題。16年數(shù)一數(shù)三第21題與數(shù)二第23題的第一問以考高次冪的形式出現(xiàn),實(shí)質(zhì)就是矩陣相似對角化問題。今年數(shù)一、數(shù)三第5、6、20、題與數(shù)二第7、8、14、22、14題都考相似、相似對角的判斷性質(zhì)。今年在這章涉及的分?jǐn)?shù)高達(dá)20多分。
第六章二次型
本章是第五章的運(yùn)用,有兩個重點(diǎn):一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;二是正定二次型。前一個重點(diǎn)主要考查大題,有兩種處理方法:配方法與正交變換法,而正交變換法是考查的重中之重。10、11、12年均以大題的形式出現(xiàn),考查的是利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,而13年的最后一道大題考查的也是二次型的題目,但它考查的則是二次型的矩陣表示,另外也考到二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,它是通過間接的方式求得特征值然后直接得出標(biāo)準(zhǔn)形的。后一考點(diǎn)正定二次型則以小題為主。14則是以填空題的形式出現(xiàn)的,考查的題目為已知二次型的負(fù)慣性指數(shù)為1,讓求參數(shù)的取值范圍。15年結(jié)合對角化考了個選擇題。16年數(shù)一結(jié)合空間解析幾何考了二次型的標(biāo)準(zhǔn)型,數(shù)三、數(shù)二正負(fù)慣性指數(shù)考察。今年數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二第3題考察的就是二次型正交對角化問題。
綜合所述,線代每年的考題都比較固定,大題基本上在線性方程和特征值的角度出。所以建議18的同學(xué)在復(fù)習(xí)線代的時候從以下幾個方面去把握:
一、把線代基本的概念弄清楚,線代的概念要從定義的角度和形式上面去把握;
二、線代的記號要清楚,而且能夠?qū)懗蓪?yīng)的形式去表示;
三、重視線代里面知識點(diǎn)的不同角度的轉(zhuǎn)換關(guān)系,比如秩與解關(guān)系、行列式與秩關(guān)系等;
四、前期要把線代里面固定題型的方法弄透,比如齊次方程的基礎(chǔ)解系是怎么求的、矩陣秩怎么求等。
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