輕松搞定考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)的大boss---特征值與特征向量

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　　特征值與特征向量是線性代數(shù)的重要內(nèi)容，也是考研數(shù)學(xué)重要的考點(diǎn)之一。這一部分既是對(duì)前面矩陣、線性方程組知識(shí)的綜合應(yīng)用，也是后面二次型的基礎(chǔ)。在考試中，本章所涉及的題目多，分值大，平均每年考查的分值在10分左右。

　　主要知識(shí)點(diǎn)有：特征值與特征向量的定義，特征值與特征向量的相關(guān)性質(zhì)，矩陣的相似，矩陣相似的對(duì)角化的條件，實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化。

　　在復(fù)習(xí)時(shí)，考生首先應(yīng)該理解特征值特征向量的定義，掌握其計(jì)算方法和常用的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，再理解矩陣的相似對(duì)角化及其條件。最后，對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣要掌握它的特殊性質(zhì)，再結(jié)合前面特征值與特征向量與矩陣的相似對(duì)角化的相關(guān)知識(shí)綜合解題。

　　?？嫉念}型與方法技巧歸納如下：

　　1、 求數(shù)值型特征值與特征向量問題。 所謂數(shù)值型矩陣是指矩陣中的元素已知，此時(shí)又分?jǐn)?shù)字型和字母型，對(duì)于數(shù)字型矩陣(此種情況最多)，求其特征值和特征向量的基本方法是特征方程法。需要注意的是，用該法解特征方程的時(shí)候，不要直接計(jì)算出行列式得到高次方程(3次以上)再去求根，因?yàn)楦叽畏匠痰母禽^難求解的。所以在計(jì)算特征方程時(shí)，要先利用行列式的性質(zhì)從中提出未知參數(shù)的一次和二次因式(考研絕大多數(shù)情形均為3階矩陣)，這樣再求特征方程的根非常簡單。對(duì)于字母型矩陣，求其特征值與特征向量，則一般用定義法。

　　2、 求抽象型矩陣的特征值與特征向量問題。此類題目可用特征值與特征向量定義以及定義得到的相關(guān)性質(zhì)去解。

　　3、 特征值與特征向量的逆問題。所謂特征值與特征向量的逆問題是指已知或間接已知矩陣的特征值與特征向量的條件，反求矩陣或矩陣中的未知參數(shù)。典型題型有二：一是，已知矩陣及特征向量中含有未知參數(shù)，求參數(shù)的問題。二是，已知或根據(jù)已知可求出某矩陣的全部特征值和特征向量，反求未知矩陣。

　　4、 矩陣的相似對(duì)角化問題。此類問題主要包括三方面：(1)判斷矩陣的相似對(duì)角化，(2)矩陣可相似對(duì)角化時(shí)，求相似變換矩陣及對(duì)角陣，(3)已知矩陣可相似對(duì)角化或不可相似對(duì)角化，求矩陣中未知參數(shù)。

　　5、 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量及相似對(duì)角化問題。

　　6、 特征值與特征向量的應(yīng)用問題。該類問題主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：(1)求方陣的高次冪，最難年份16年大題考查了該知識(shí)點(diǎn)。(2)求行列式的值。(3)求矩陣的秩。

　　以上是跨考數(shù)學(xué)教研室編老師對(duì)特征值與特征向量內(nèi)容的解析，除了上述方法之外，最重要的還是要多練習(xí)，紙上得來終覺淺，須知此事要躬行。

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