2014考研數(shù)學(xué)：級(jí)數(shù)之五步搞定法_跨考網(wǎng)

　　考研備考中，對(duì)高等數(shù)學(xué)的級(jí)數(shù)這部分的復(fù)習(xí)有很多同學(xué)存在困擾，究其原因，可能是因?yàn)槠渑c微積分的聯(lián)系不是很緊密。但是關(guān)于級(jí)數(shù)斂散性的判別有一些常規(guī)步驟，掌握了這些步驟，在其后才能靈活運(yùn)用它解決更多綜合性的題目。》》考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)

　　級(jí)數(shù)題型及思路(以下內(nèi)容整理自《高等數(shù)學(xué)過關(guān)與提高》下冊(cè))：

　　一、判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性

　　1.先看當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是否趨向于零(如果不易看出，可跳過這一步)。若不趨于零，則級(jí)數(shù)發(fā)散;若趨于零，則

　　2.再看級(jí)數(shù)是否為幾何級(jí)數(shù)或p級(jí)數(shù)，因?yàn)檫@兩種級(jí)數(shù)的斂散性是書籍的，如果不是幾何級(jí)數(shù)或p級(jí)數(shù)，則

　　3.用比值判別法或根值判別法進(jìn)行判別，如果兩判別法均失效，則

　　4.再用比較判別法或其極限形式進(jìn)行判別，用比較判別法判別，一般應(yīng)根據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)猜測(cè)其斂散性，然后再找出作為比較的級(jí)數(shù)，常用來作為比較的級(jí)數(shù)主要有幾何級(jí)數(shù)和p級(jí)數(shù)等。

　　二、判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性

　　1.利用萊布尼茨判別法進(jìn)行分析判定。

　　2.利用絕對(duì)級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行判定。

　　3.一般情況下，若級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)未必發(fā)散;但是如果用比值法或根值法判別出絕對(duì)級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)必發(fā)散。

　　4.有時(shí)可把級(jí)數(shù)通項(xiàng)拆分成兩個(gè)，利用“收斂+發(fā)散=發(fā)散”“收斂+收斂=收斂”判定。

　　三、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域

　　1.若級(jí)數(shù)冪次是按x的自然數(shù)順序遞增，則其收斂半徑由求出，進(jìn)而可以寫出收斂區(qū)間，再考慮區(qū)間端點(diǎn)處數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可得冪級(jí)數(shù)的收斂域。

　　2.對(duì)于缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)或x的函數(shù)的冪級(jí)數(shù)，可根據(jù)比值判別法求收斂半徑，也可作代換，換成t的冪級(jí)數(shù)，再求收斂半徑。

　　四、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和

　　1.求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)主要先通過冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分等性質(zhì)將其化為幾何級(jí)數(shù)的形式，再求和。

　　2.求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，可利用定義求出部分和，再求極限;或轉(zhuǎn)化為冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)值。

　　五、將函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)

　　將函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)需根據(jù)已有公式求出傅里葉系數(shù)，這時(shí)可根據(jù)函數(shù)的奇偶性簡(jiǎn)化系數(shù)的計(jì)算，然后再根據(jù)收斂性定理寫出函數(shù)與其傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系。

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