2016考研數(shù)學(xué)考試分析之定理證明(一)

劉緯宇——數(shù)學(xué)教研室

2016全國碩士研究生入學(xué)考試剛剛落下帷幕?？荚圀w現(xiàn)出來的規(guī)律對2017年的考生有借鑒意義。定理證明是考生普遍感覺不太有把握的內(nèi)容，而2015年真題釋放出一個明確信號——考生需重視教材中重要定理的證明。下面跨考劉緯宇老師為考生梳理一下教材中那些要求會證的重要定理。

一、求導(dǎo)公式的證明

2015年真題考了一個證明題：證明兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式。幾乎每位同學(xué)都對這個公式怎么用比較熟悉，而對它怎么來的較為陌生。實際上，從授課的角度，這種在2015年前從未考過的基本公式的證明，一般只會在基礎(chǔ)階段講到。如果這個階段的考生帶著急功近利的心態(tài)只關(guān)注結(jié)論怎么用，而不關(guān)心結(jié)論怎么來的，那很可能從未認(rèn)真思考過該公式的證明過程，進而在考場上變得很被動。這里給2017考研學(xué)子提個醒：要重視基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)，那些真題中未考過的重要結(jié)論的證明，有可能考到，不要放過。

當(dāng)然，該公式的證明并不難。先考慮f(x)*g(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)自然用導(dǎo)數(shù)定義考察，可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出一個極限式子。該極限為“0分之0”型，但不能用洛必達法則，因為分子的導(dǎo)數(shù)不好算(乘積的導(dǎo)數(shù)公式恰好是要證的，不能用!)。利用數(shù)學(xué)上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個“無中生有”的項要和前后都有聯(lián)系，便于提公因子。之后分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結(jié)果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意點的導(dǎo)數(shù)公式。

類似可考慮f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的導(dǎo)數(shù)公式的證明。

(未完待續(xù))