2021考研數(shù)學:線性代數(shù)不得不知四大考點

最后更新時間:2020-04-23 16:37:17
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  考研數(shù)學一直是很多孩子們的“心病”,但是數(shù)學作為考研課程中的公共課程在其中起著至關重要的作用。而線性代數(shù)是相對來說比較容易拿分的部分,經過分析了近年考試真題與大綱,總結出2021數(shù)學線性代數(shù)考試考查概率極高的四個核心考點,希望能對大家有一定幫助。

  矩陣的秩

  矩陣是解決線性方程組的解的有力工具,矩陣也是化簡二次型的方便工具。矩陣理論是線性代數(shù)的重點內容,熟悉掌握了矩陣的相關性質與內容,利用其來解決實際應用問題就變得簡單易行。正因為矩陣理論在整個線性代數(shù)中的重要作用,使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c。矩陣由那么多元素組成,每一個元素都在扮演不同的角色,其中的核心或主角是它的秩!

  通過幾十年考研考試,老師對題目的形式在不斷地完善,這也要求考生深入理解概念,靈活處理理論之間的關系,能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解,對矩陣的秩與向量組的秩之間的關系的理解,對矩陣等價與向量組等價之間區(qū)別的理解,對矩陣的秩與方程組的解之間關系的掌握,對含參數(shù)的矩陣的處理以及反問題的解決能力等,都需要在對概念理解的基礎上,聯(lián)系地看問題,及時總結結論。

  矩陣的特征值與特征向量

  矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對角化過程中起著決定作用,也是將二次型標準化、規(guī)范化的便捷方式,故特征值與特征向量也是考查重點。對于特征值與特征向量,須理清其相互關系,也須能根據(jù)一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量(例如根據(jù)矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個特征值,元素均為1的列向量是其對應的特征向量),會處理含參數(shù)的情況。

  線性方程組求解

  對線性方程組的求解總是通過矩陣來處理,含參數(shù)的方程組是考查的重點,對方程組解的結構及有解的條件須熟悉。例如2010年第20題(數(shù)學二為22題),已經三元非齊次線性方程組存在2個不同的解,求其中的參數(shù)并求方程組的通解。此題的關鍵是確定參數(shù)!而所有信息完全隱含在“AX=b存在2個不同的解”這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解,系數(shù)矩陣降秩,行列式為0,可求得矩陣中的參數(shù);非齊次方程組有解故系數(shù)矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數(shù)及b中的參數(shù)。至于確定參數(shù)后再求解非齊次方程組就變得非常簡單了!

  二次型標準化與正定判斷

  二次型的標準化與矩陣對角化緊密相連,即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要掌握一些處理含參數(shù)矩陣的方法以便運算中節(jié)省時間!正定二次型有很優(yōu)秀的性質,但畢竟這是一類特殊矩陣,判斷一個矩陣是否屬于這個特殊類,可以使用正定矩陣的幾個充要條件,例如二次型矩陣的特征值是否全大于0,順序主子式是否均大于0等,但前者更常用一些。

  這四個考點可以說是考試的重點考查對象,考生可以根據(jù)自己的實際情況圍繞重點題型復習。

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