【名師輔導(dǎo)】線(xiàn)性代數(shù)中的矩陣重難點(diǎn)分析

　　矩陣是線(xiàn)性代數(shù)的核心，在教育部考試中心所頒布的最新的考試大綱中，對(duì)矩陣部分規(guī)定的考試內(nèi)容和考試要求如下：

　　1.考試內(nèi)容：矩陣的概念，矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算，矩陣的乘法，方陣的冪，方陣乘積的行列式，矩陣的轉(zhuǎn)置，逆矩陣的概念和性質(zhì)，矩陣可逆的充分必要條件，伴隨矩陣，矩陣的初等變換，矩陣的秩，矩陣的等價(jià)，分塊矩陣及其運(yùn)算。

　　2.考試要求：

　　(1)理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對(duì)稱(chēng)矩陣，反對(duì)稱(chēng)矩陣及正交矩陣等的定義和性質(zhì);

　　(2)掌握矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì);

　　(3)理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣;

　　(4)了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求逆矩陣和秩的方法;

　　(5)了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運(yùn)算法則。

　　下面，筆者將根據(jù)歷年真題所呈現(xiàn)的題目類(lèi)型，對(duì)矩陣部分考查的重難點(diǎn)進(jìn)行逐一分析。

　　1.矩陣的概念。矩陣是由m×n個(gè)元素按照某種順序排成的m行n列的數(shù)表;矩陣和行列式的區(qū)別：(1)矩陣的結(jié)果是個(gè)數(shù)表，行列式的結(jié)果是個(gè)數(shù)值;(2)矩陣的行數(shù)與列數(shù)可以等或者不等，行列式的行數(shù)和列數(shù)必須相等。

　　在矩陣中，若元素都是實(shí)數(shù)，則矩陣是實(shí)矩陣。在考研真題中，所討論的一般都是實(shí)矩陣。此外，單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣和反對(duì)稱(chēng)矩陣都是方陣。

　　2.矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算。

　　(1)矩陣的加法運(yùn)算：只有同型矩陣的才能相加減;

　　(2)數(shù)乘矩陣：必須用數(shù)遍乘矩陣的所有元素;

　　(3)矩陣的乘法運(yùn)算：對(duì)于A(yíng)B，要求矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)時(shí)，AB才可以相乘，此外注意矩陣的乘法一般不滿(mǎn)足交換律和消去律;

　　(4)方陣的冪運(yùn)算：注意只有方陣才能做冪運(yùn)算;

　　(5)方陣乘積的行列式：方陣乘積的行列式等于方陣行列式的乘積，即

　　│AB│=│A│×│B│

　　3.逆矩陣是矩陣的主要概念，逆矩陣的運(yùn)算是矩陣的重要運(yùn)算?？季V要求考生掌握和理解逆矩陣的有關(guān)概念，掌握矩陣求逆的方法和逆矩陣的性質(zhì)，具有快速求矩陣的逆和解矩陣方程的能力。

　　矩陣求逆題型主要有兩種：

　　(1)數(shù)值型矩陣求逆：方法有初等行變換法和分塊求逆法。

　　(2)抽象型矩陣求逆：方法有定義法和運(yùn)算性質(zhì)法。

　　4.正確理解矩陣初等變換的概念，會(huì)用矩陣初等行(列)變換將矩陣化成行(列)階梯形。此外，考綱還要求考生熟練掌握初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對(duì)矩陣A左乘一個(gè)初等矩陣，等于對(duì)A作相應(yīng)的行變換;對(duì)矩陣A右乘一個(gè)初等矩陣，等于對(duì)A作相應(yīng)的列變換。此考點(diǎn)的題型多為選擇題。

　　5.理解矩陣的秩的概念，考綱要求考生掌握用初等變換求矩陣秩的方法。

　　6.矩陣的分塊運(yùn)算。重點(diǎn)內(nèi)容有：

　　(1)矩陣按行或按列分塊;

　　(2)分塊矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算(加法和數(shù)乘);

　　(3)分塊矩陣乘法運(yùn)算;

　　(4)分塊矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算;

　　(5)分塊矩陣的求逆計(jì)算;

　　(6)分塊矩陣的冪運(yùn)算。

　　參考資料：

　　1.《2019全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱》，教育部考試中心，高等教育出版社

　　2.《1987-2019全國(guó)碩士研究生招生考試真題大全》，跨考教研室

　　(本文為跨考教育教研室包新卓老師原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處。)