考研數(shù)學高數(shù)多元函數(shù)全微分與偏導數(shù)的關系
數(shù)學復習:2018考研數(shù)學復習指導攻略(全)
考研數(shù)學在考試中所占比例比較大,是考試復習的重點內容,2018年考研的同學一定要對這部分知識必須“吃懂”、“吃透”,以下是跨考網(wǎng)老師為大家整理的:考研數(shù)學高數(shù)多元函數(shù)全微分與偏導數(shù)的關系,希望對大家的復習有所幫助。
dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy,dz是全微分,fx、fy是對x、y的偏導數(shù)。
如果函數(shù)z=f(x, y) 在(x, y)處的全增量 Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 可以表示為 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ), 其中A、B不依賴于Δx, Δy,僅與x,y有關,ρ趨近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2]),此時稱函數(shù)z=f(x, y)在點(x,y)處可微分,AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)處的全微分,記為dz即 dz=AΔx +BΔy 該表達式稱為函數(shù)z=f(x, y) 在(x, y)處(關于Δx, Δy)的全微分。
在數(shù)學中,一個多變量的函數(shù)的偏導數(shù),就是它關于其中一個變量的導數(shù)而保持其他變量恒定(相對于全導數(shù),在其中所有變量都允許變化)。偏導數(shù)在向量分析和微分幾何中是很有用的。
在一元函數(shù)中,我們已經(jīng)知道導數(shù)就是函數(shù)的變化率。對于二元函數(shù)我們同樣要研究它的“變化率”。然而,由于自變量多了一個,情況就要復雜的多。
在xOy平面內,當動點由P(x0,y0)沿不同方向變化時,函數(shù)f(x,y)的變化快慢一般說來是不同的,因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)點處沿不同方向的變化率。
在這里我們只學習函數(shù)f(x,y)沿著平行于x軸和平行于y軸兩個特殊方位變動時,f(x,y)的變化率。
偏導數(shù)的算子符號為:∂。
偏導數(shù)反映的是函數(shù)沿坐標軸正方向的變化率。
表示固定面上一點的切線斜率。
偏導數(shù)f'x(x0,y0)表示固定面上一點對x軸的切線斜率;偏導數(shù)f'y(x0,y0)表示固定面上一點對y軸的切線斜率。
高階偏導數(shù):如果二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導數(shù)f'x(x,y)與f'y(x,y)仍然可導,那么這兩個偏導函數(shù)的偏導數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導數(shù)。
二元函數(shù)的二階偏導數(shù)有四個:f"xx,f"xy,f"yx,f"yy.
注意:f"xy與f"yx的區(qū)別在于:前者是先對x求偏導,然后將所得的偏導函數(shù)再對y求偏導;后者是先對y求偏導再對x求偏導.當f"xy與f"yx都連續(xù)時,求導的結果與先后次序無關。
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