考研數(shù)學高數(shù)多元函數(shù)全微分與偏導數(shù)的關系

　　數(shù)學復習:2018考研數(shù)學復習指導攻略(全)

　　考研數(shù)學在考試中所占比例比較大，是考試復習的重點內容，2018年考研的同學一定要對這部分知識必須“吃懂”、“吃透”，以下是跨考網(wǎng)老師為大家整理的：考研數(shù)學高數(shù)多元函數(shù)全微分與偏導數(shù)的關系，希望對大家的復習有所幫助。

　dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy，dz是全微分，fx、fy是對x、y的偏導數(shù)。

　　如果函數(shù)z=f(x, y) 在(x, y)處的全增量　　Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)　　可以表示為　　Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，　　其中A、B不依賴于Δx, Δy，僅與x,y有關，ρ趨近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此時稱函數(shù)z=f(x, y)在點(x，y)處可微分，AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)處的全微分，記為dz即　　dz=AΔx +BΔy　　該表達式稱為函數(shù)z=f(x, y) 在(x, y)處(關于Δx, Δy)的全微分。

　　在數(shù)學中，一個多變量的函數(shù)的偏導數(shù)，就是它關于其中一個變量的導數(shù)而保持其他變量恒定(相對于全導數(shù)，在其中所有變量都允許變化)。偏導數(shù)在向量分析和微分幾何中是很有用的。

　　在一元函數(shù)中，我們已經(jīng)知道導數(shù)就是函數(shù)的變化率。對于二元函數(shù)我們同樣要研究它的“變化率”。然而，由于自變量多了一個，情況就要復雜的多。

　　在xOy平面內，當動點由P(x0,y0)沿不同方向變化時，函數(shù)f(x,y)的變化快慢一般說來是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)點處沿不同方向的變化率。

　　在這里我們只學習函數(shù)f(x,y)沿著平行于x軸和平行于y軸兩個特殊方位變動時，f(x,y)的變化率。

　　偏導數(shù)的算子符號為:∂。

　　偏導數(shù)反映的是函數(shù)沿坐標軸正方向的變化率。

　　表示固定面上一點的切線斜率。

　　偏導數(shù)f'x(x0,y0)表示固定面上一點對x軸的切線斜率;偏導數(shù)f'y(x0,y0)表示固定面上一點對y軸的切線斜率。

　　高階偏導數(shù)：如果二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導數(shù)f'x(x,y)與f'y(x,y)仍然可導，那么這兩個偏導函數(shù)的偏導數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導數(shù)。

　　二元函數(shù)的二階偏導數(shù)有四個：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.

　　注意：f"xy與f"yx的區(qū)別在于：前者是先對x求偏導，然后將所得的偏導函數(shù)再對y求偏導;后者是先對y求偏導再對x求偏導.當f"xy與f"yx都連續(xù)時，求導的結果與先后次序無關。