2015年考研數(shù)學(xué):考研數(shù)學(xué)單選題和證明題經(jīng)典解題技巧_跨考網(wǎng)

最后更新時(shí)間:2014-04-21 21:57:19
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  一、單選題經(jīng)典解題技巧

  1.推演法。提示條件中給出一些條件或者一些數(shù)值,你很容易判斷,那這樣的題就用推演法去做。推演法實(shí)際上是一些計(jì)算題,簡單一點(diǎn)的計(jì)算題。那么從提示條件中往后推,推出哪個(gè)結(jié)果選擇哪個(gè)。

  2.賦值法。給一個(gè)數(shù)值馬上可以判斷我們這種做法對不對,這個(gè)值可以加在給出的條件上,也可以加在被選的4個(gè)答案中的其中幾個(gè)上,我們加上去如果得出和我們題設(shè)的條件矛盾,或者是和我們已知的事實(shí)相矛盾。比方說2小于1就是明顯的錯(cuò)誤,所以把這些排除了,排除掉3個(gè)最后一個(gè)肯定是正確的。

  3.舉反例排除法。這是針對提示中給出的函數(shù)是抽象的函數(shù),抽象的對立面是具體,所以我們用具體的例子來核定,這個(gè)跟我們剛才的賦值法有某種相似之處。一般來講舉的范例是越簡單越好,而且很多考題你只要簡單的看就可以看出他的錯(cuò)誤點(diǎn)。

  4.類推法。從最后被選的答案中往前推,推出哪個(gè)錯(cuò)誤就把哪個(gè)否定掉,再換一個(gè)。我們推出3個(gè)錯(cuò)誤最后一個(gè)肯定是正確的。后面三種方法有些相似之處,類推法這種方法是費(fèi)時(shí)費(fèi)力的,一般來講我們不太用。

  總結(jié):經(jīng)常進(jìn)行自我總結(jié),錯(cuò)題總結(jié)能逐漸提高解題能力。大家可以在學(xué)完每一章后,自己通過畫圖的形式回憶這章有哪些知識(shí)點(diǎn),有哪些定理,他們之間有些什么聯(lián)系,如何應(yīng)用等;對做錯(cuò)的題分析一下原因:概念不清楚、定理用錯(cuò)了還是計(jì)算粗心?數(shù)學(xué)思維方法是數(shù)學(xué)的精髓,只有對此進(jìn)行歸納、領(lǐng)會(huì)、應(yīng)用,才能把數(shù)學(xué)知識(shí)與技能轉(zhuǎn)化為分析問題、解決問題的能力,使解題能力“更上一層樓”。

  二、證明題的解法與技巧

  1.結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理,包括條件及結(jié)論。

  知道基本原理是證明的基礎(chǔ),知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的 存在性并求極限。只要證明了極限存在,求值是很容易的,但是如果沒有證明第一步,即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的,如果第一步未得到結(jié)論,那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡單,只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一:單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則,該問題就能輕松解決,因?yàn)閷τ谠擃}中的數(shù)列來說,“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多,更多的是要用到第二步。

  2.借助幾何意義尋求證明思路

  一個(gè)證明題,大多時(shí)候是能用其幾何意義來正確解釋的,當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題,可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖,再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn):兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn),那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn) (正確審題:兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn),兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題,只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及 y=1-x在[0,1]上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn),這就是所證結(jié)論,重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反,也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的,零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無法完滿解決問題的話,轉(zhuǎn)第三步。

  3.逆推法

  從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題,該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題:即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系,正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性,非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所 舉出的例子就屬非正常情況),這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來函數(shù)的單調(diào)性,從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè) F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。

  對于那些經(jīng)常使用如上方法的考生來說,利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的12分,但對于從心理上就不自信能解決證明題的考生來說,卻常常輕易丟失12分,后一部分同學(xué)請按“證明三步走”來建立自信心,以阻止考試分?jǐn)?shù)的白白流失。

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