考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)答題必知的知識點及概念_跨考網(wǎng)
2014年研究生備考的硝煙還未散盡時,另一場戰(zhàn)役已經(jīng)打響。在考研數(shù)學(xué)的三門課里,線性代數(shù)這門課的特點又是什么呢?線性代數(shù)這門課對考生的抽象能力的要求特別的高,大綱要求主要考查的有抽象行列式的計算,抽象矩陣求逆,抽象矩陣求秩,抽象行列式求特征值與特征向量,這四種抽象題型是考研線性代數(shù)每年常出題型,占有很大比重,要求同學(xué)們有較高的綜合能力。
線性代數(shù)的前后知識的連續(xù)性強完全是由它自身的知識體系和邏輯推理方式來決定的,很多同學(xué)也都說線性代數(shù)的公式概念結(jié)論特別的多,前后聯(lián)系特別的緊密,在做一個題時,如果有一個公式或者結(jié)論不知道,后面的過程就無法做下去,其實這也符合考研大綱的要求的考生運用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。如果和高等數(shù)學(xué)做個比較,我們把高等數(shù)學(xué)看作是一個連續(xù)性的推理過程,線性代數(shù)就是一個跳躍性的推理過程,在做題時表現(xiàn)的會很明顯。同學(xué)們在做高等數(shù)學(xué)的題時,從第一步到第二步到第三步在數(shù)學(xué)式子上一個一個等下去很清晰,但是同學(xué)們在做線性代數(shù)的題目時從第一步到第二步到第三步經(jīng)常在數(shù)學(xué)式子上看不出來,比如行列式的計算,從第幾行(或列)加到哪行(列)很多時候很難一下子看出來。針對上述特點,給出線性代數(shù)的各章節(jié)重要知識點具體復(fù)習(xí)建議,希望同學(xué)們的復(fù)習(xí)能夠有的放矢。
一、行列式與矩陣
行列式、矩陣是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié),從命題人的角度來看,可以像潤滑油一般結(jié)合其它章節(jié)出題,因此必須熟練掌握。
行列式的核心內(nèi)容是求行列式——具體行列式的計算和抽象行列式的計算。其中具體行列式的計算又有低階和高階兩種類型,主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行(列)展開定理化為上下三角行列式求解;而對于抽象行列式而言,考點不在如何求行列式,而在于結(jié)合后面章節(jié)內(nèi)容的相對綜合的題。
矩陣部分出題很靈活,頻繁出現(xiàn)的知識點包括矩陣各種運算律、矩陣的基本性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩、初等矩陣等。
二、向量與線性方程組
向量與線性方程組是整個線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。相比之下,行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié),而其后兩章特征值和特征向量、二次型的內(nèi)容則相對獨立,可以看作是對核心內(nèi)容的擴展。
向量與線性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切,很多知識點相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩部分內(nèi)容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系,因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解,同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。
這部分的重要考點一是線性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式;二是線性方程組與向量以及其它章節(jié)的各種內(nèi)在聯(lián)系。
(1)齊次線性方程組與向量線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系
齊次線性方程組可以直接看出一定有解,因為當(dāng)變量都為零時等式一定成立——印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。
齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況:①有唯一零解;②有非零解。當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時,是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立,而當(dāng)齊次線性方程組有非零解時,存在不全為零的變量使上式成立;但向量部分中判斷向量組是否線性相關(guān)、無關(guān)的定義也正是由這個等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系——齊次線性方程組是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關(guān)??梢栽O(shè)想線性相關(guān)、無關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。
(2)齊次線性方程組的解與秩和極大無關(guān)組的聯(lián)系
同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)”。經(jīng)過 “秩→線性相關(guān)、無關(guān)→線性方程組解的判定”的邏輯鏈條,就可以判定列向量組線性相關(guān)時,齊次線性方程組有非零解,且齊次線性方程組的解向量可以通過r個線性無關(guān)的解向量(基礎(chǔ)解系)線性表示。
(3)非齊次線性方程組與線性表出的聯(lián)系
非齊次線性方程組是否有解對應(yīng)于向量是否可由列向量
三、特征值與特征向量
相對于前兩章來說,本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點,但卻是一個考試重點。其原因是解決相關(guān)題目要用到線代中的大量內(nèi)容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)性,“牽一發(fā)而動全身”。
本章知識要點如下:
1. 特征值和特征向量的定義及計算方法就是記牢一系列公式和性質(zhì)。
2. 相似矩陣及其性質(zhì),需要區(qū)分矩陣的相似、等價與合同:
3. 矩陣可相似對角化的條件,包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件一是n階矩陣有n個線性無關(guān)的特征值;二是任意r重特征根對應(yīng)有r個線性無關(guān)的特征向量。
4. 實對稱矩陣及其相似對角化,n階實對稱矩陣必可正交相似于以其特征值為對角元素的對角陣。
四、二次型
這部分所講的內(nèi)容從根本上講是特征值和特征向量的一個延伸,因為化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的核心知識為“對于實對稱矩陣,必存在正交矩陣,使其可以相似對角化”,其過程就是上一章實對稱矩陣相似對角化的應(yīng)用。
本章核心要點如下:
1. 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。
2. 正定二次型的判斷與證明。
?2022考研初復(fù)試已經(jīng)接近尾聲,考研學(xué)子全面進入2023屆備考,跨考為23考研的考生準(zhǔn)備了10大課包全程準(zhǔn)備、全年復(fù)習(xí)備考計劃、目標(biāo)院校專業(yè)輔導(dǎo)、全真復(fù)試模擬練習(xí)和全程針對性指導(dǎo);2023考研的小伙伴針也已經(jīng)開始擇校和復(fù)習(xí)了,跨考考研暢學(xué)5.0版本全新升級,無論你在校在家都可以更自如的完成你的考研復(fù)習(xí),暑假集訓(xùn)營帶來了院校專業(yè)初步選擇,明確方向;考研備考全年規(guī)劃,核心知識點入門;個性化制定備考方案,助你贏在起跑線,早出發(fā)一點離成功就更近一點!
點擊右側(cè)咨詢或直接前往了解更多
考研院校專業(yè)選擇和考研復(fù)習(xí)計劃 | |||
2023備考學(xué)習(xí) | 2023線上線下隨時學(xué)習(xí) | 34所自劃線院校考研復(fù)試分?jǐn)?shù)線匯總 | |
2022考研復(fù)試最全信息整理 | 全國各招生院??佳袕?fù)試分?jǐn)?shù)線匯總 | ||
2023全日制封閉訓(xùn)練 | 全國各招生院??佳姓{(diào)劑信息匯總 | ||
2023考研先知 | 考研考試科目有哪些? | 如何正確看待考研分?jǐn)?shù)線? | |
不同院校相同專業(yè)如何選擇更適合自己的 | 從就業(yè)說考研如何擇專業(yè)? | ||
手把手教你如何選專業(yè)? | 高校研究生教育各學(xué)科門類排行榜 |
相關(guān)推薦
2022考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)易錯知識點整理匯總
2022考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo):選擇題八種解題方法
2022考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)階段切記避開這些誤區(qū)!
2022考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)必備的四類資料
2022考研數(shù)學(xué)備考:提高記憶效率的10個技巧
2022考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考十一大知識模塊總結(jié)
2022考研數(shù)學(xué)寒假復(fù)習(xí)備考策略!
2022考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo):記住六點提高復(fù)習(xí)效率
跨考考研課程
班型 | 定向班型 | 開班時間 | 高定班 | 標(biāo)準(zhǔn)班 | 課程介紹 | 咨詢 |
秋季集訓(xùn) | 沖刺班 | 9.10-12.20 | 168000 | 24800起 | 小班面授+專業(yè)課1對1+專業(yè)課定向輔導(dǎo)+協(xié)議加強課程(高定班)+專屬規(guī)劃答疑(高定班)+精細(xì)化答疑+復(fù)試資源(高定班)+復(fù)試課包(高定班)+復(fù)試指導(dǎo)(高定班)+復(fù)試班主任1v1服務(wù)(高定班)+復(fù)試面授密訓(xùn)(高定班)+復(fù)試1v1(高定班) | |
2023集訓(xùn)暢學(xué) | 非定向(政英班/數(shù)政英班) | 每月20日 | 22800起(協(xié)議班) | 13800起 | 先行階在線課程+基礎(chǔ)階在線課程+強化階在線課程+真題階在線課程+沖刺階在線課程+專業(yè)課針對性一對一課程+班主任全程督學(xué)服務(wù)+全程規(guī)劃體系+全程測試體系+全程精細(xì)化答疑+擇校擇專業(yè)能力定位體系+全年關(guān)鍵環(huán)節(jié)指導(dǎo)體系+初試加強課+初試專屬服務(wù)+復(fù)試全科標(biāo)準(zhǔn)班服務(wù) |