如何備考考研線性代數(shù)_跨考網(wǎng)

　　一、“早”．提倡一個“早”字，是提醒考生考研數(shù)學(xué)備考要早計劃、早安排、早動手．因為數(shù)學(xué)是一門思維嚴謹、邏輯性強、相對比較抽象的學(xué)科．和一些記憶性較多的學(xué)科不同，數(shù)學(xué)需要理解的概念多，方法又靈活多變，而理解概念，特別是理解比較抽象的概念是一個漸近的過程，它需要思考、消化，需要琢磨、需要從不同的角度、不同的側(cè)面的深入研究，總之它需要時間，任何搞突擊，搞速成的思想不可取，這對大多數(shù)考生而言，不可能取得成功；另一方面，早計劃、早安排、早動手是采取“笨鳥先飛”之策，這是考研的激烈競爭現(xiàn)實所要求的，早一天準備，多一分成績，多一份把握，現(xiàn)在不少大一、大二的在校生已經(jīng)在準備 2 ～ 3 年后的考研，這似乎是早了點，但作為一個目標、作為一個追求，無可非議．作為 2010 年的考生，從現(xiàn)在開始備考，恐怕已經(jīng)不算太早了．

　　二、“綱”．突出一個綱字，就是要認真研究考試大綱，要根據(jù)考試大綱規(guī)定的考試內(nèi)容、考試要求、考試樣題有計劃地、認真地、全面地、系統(tǒng)地復(fù)習(xí)備考，加強備考的針對性．

　　由于全國基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教材 ( 高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，概率論和數(shù)理統(tǒng)計 ) 并不統(tǒng)一，各學(xué)校、各專業(yè)對這些課程要求的層次也各不相同，因此教育部并沒有指定統(tǒng)一的教材或參考書作為命題的依據(jù)，而是以教育部制定的《全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱》 ( 下稱《大綱》 ) 作為考試的法規(guī)性文件，命題以《大綱》為依據(jù)，考生備考復(fù)習(xí)當(dāng)然也應(yīng)以《大綱》為依據(jù)．

　　為了讓廣大考生對“考什么”有一定的了解 ( 不是盲目的備考 ) ，教育部考試中心命制的試題，每年都具有穩(wěn)定性、連續(xù)性的特點．《大綱》提供的樣題及歷屆試題也在于讓考生了解“考什么”．歷屆試題中，從來沒有出過偏題、怪題，也沒有出過超過大綱范圍的超綱題．當(dāng)然，一份好的試題，首先要有好的區(qū)分度，使高水平考生考出好成績，因此試題中難、易試題要有恰當(dāng)?shù)拇钆洌辉囶}的總量必須有一定的限制，同時試題還要有盡可能大的覆蓋面，因此一味地去做難題，甚至怪題、偏題是不可取的，“題海戰(zhàn)術(shù)”不能替代全面、系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，由于試題有極大的覆蓋面，每年試題幾乎都要覆蓋所有的章節(jié)，因此偏廢某部分內(nèi)容也是不恰當(dāng)?shù)模魏巍安骂}”及僥幸心理都會導(dǎo)致失?。挥懈鶕?jù)大綱，全面、系統(tǒng)地復(fù)習(xí)，不留遺漏，才不會留下遺憾．

　　三、“基”．強調(diào)一個“基”字，是指要強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的三基，即要重視基本概念的理解，基本方法的掌握，基本運算的熟練．

　　基本概念理解不透徹，對解題會帶來思維上的困難和混亂．因此對概念必須搞清它的內(nèi)涵，還要研究它的外延，要理解正面的含義，還要思考、理解概念的側(cè)面、反面．例如關(guān)于矩陣的秩，教材中的定義是： A 是陰 Xn 矩陣，若 A 中有一個 r 階子式不為零，所有 r 階以上子式 ( 如果它還有的話 ) 均為零，則稱 A 的秩為 r ，記成 rank(A) ： r( 或 r(A) ＝ r ，秩 A ＝ r) ．顯然，定義中內(nèi)涵的要點有： 1 ． A 中至少有一個 r 階子式不為零； 2 ．所有 r 階以上均為零． 3 ．若所有 r+1 子式都為零，則必有所有 r 階以上子式均為零．要點 2 和 3 是等價條件，至于 r 階子式是否可以為零？小于 r 階的子式是否可以為零 ? 所有 r-1 階的子式是否可以全部為零？這些都是秩的概念的外延內(nèi)容，如果這些概念搞清楚了。那么下述選擇題就會迎刃而解．

例 1 設(shè) A 是 m × n 矩陣， r(A) ＝ r

(B) 有不等于零的 r 階子式，沒有不等于零的 r+1 階子式．

(C) 有等于零的 r 階子式，沒有不等于零的 r+1 階子式．

(D) 任何 r 階子式不等于零，任何 r+1 階子式都等于零．

答案： (B)

　　基本方法要熟練掌握．熟練掌握不等于死記硬背，相反要抓問題的實質(zhì)，要在理解的基礎(chǔ)上適當(dāng)記憶．把需要記憶的東西縮小到最低限度，很多方法可以通過練習(xí)來記住，例如一個實對稱矩陣，一定存在正交矩陣，通過正交變換化為對角陣，其步驟較多，但通過練習(xí)，不難解決．

　　基本計算要熟練．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，離不開計算，計算要熟練，當(dāng)然要做一定數(shù)量的習(xí)題，通過一定數(shù)量的習(xí)題，把計算的基本功練扎實．在練習(xí)過程中，自覺的提高運算能力，提高運算的準確性，養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣和科學(xué)作風(fēng)．特別對線性代數(shù)而言，運算并不復(fù)雜，大量的運算是大家早已熟練了的加法和乘法，從而養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣和科學(xué)作風(fēng)顯得尤為重要。例如線性代數(shù)的前四章中 ( 行列式、矩陣、向量、方程組 ) 絕大多數(shù)的運算是初等變換．用初等變換求行列式的值、求逆矩陣、求向量組 ( 或矩陣 ) 的秩、求向量組的極大線性無關(guān)組、求方程組的解等．可以想象，一旦初等變換過程中出現(xiàn)某個數(shù)值計算錯誤，那你的答案將是什么樣的結(jié)果？從歷屆數(shù)學(xué)試題來看，每年需要通過計算得分的內(nèi)容均在 70% 左右，可見計算能力培養(yǎng)的重要．只聽 ( 聽各種輔導(dǎo)班 ) 不練，只看 ( 看各類輔導(dǎo)資料 ) 不練，眼高手低，專找難題做，這并不適合一般考生的情況，在歷屆考生中，不乏有教訓(xùn)慘痛的人．

　　四、“活”．線性代數(shù)中概念多、定理多、符號多、運算規(guī)律多，內(nèi)容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點，故考生應(yīng)通過全面系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論及應(yīng)用，熟悉符號的意義，掌握各種運算規(guī)律、計算方法，并及時進行總結(jié)，抓聯(lián)系，抓規(guī)律，使零散的知識點串起來、連起來，使所學(xué)知識融會貫通，實現(xiàn)一個“活”字．

　　線性代數(shù)各章節(jié)的內(nèi)容，不是孤立割裂的，而是相互滲透、緊密聯(lián)系的．如 A 是 n 階方陣，若，｜ A ｜≠ 0( 稱 A 為非奇陣 ) ． <=>A 是可逆陣． <=> 有 n 階方陣 B ，使得 AB=BA=E ． <=>B=A-1 ＝ A* ／｜ A ｜． <=>r(A)=n( 稱 A 是滿秩陣 ) ． <=> 存在若干個初等陣 P1 ， P2 ，…， PN ，使得 PNPN-1 … P1A=E ． <=>(A ┆ E) → (E ┆ A-1) ． <=>A 可表示成若干個可逆陣的乘積． <=>A 可表示成若干個初等陣的積。 <=>A 的列向量組線性無關(guān) ( 列滿秩 ) ． <=>AX=0 ，唯一零解． <=>A 的行向量組線性無關(guān) ( 行滿秩 ) ． <=>A 的列 ( 行 ) 向量組是 Rn 空間的基． <=> 任何 n 維列向量 b 均可由 A 的列向量線性表出 ( 且表出法唯一 ) ． <=> 對任意的列向量 b ，方程組 AX ＝ b 有唯一解，且唯一解為 A-1b<=>A 沒有零特征值，即λ i ≠ O ， i ＝ 1 ， 2 ，…， n ． <=A 是正定陣 ( 正交陣，… ) ． 這種知識間的相互聯(lián)系、滲透，給綜合命題創(chuàng)造了條件，同樣一個試題，可以從不同的角度有多種命制試題的方法．

　　例 2 (2001 年數(shù)學(xué)一第九題 ) 設(shè)α 1 ，α 2 ，…，α s ，是線性方程組 AX ＝ 0 的基礎(chǔ)解系，β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+t2 α 3 ，…，β s ＝ t1 α s+t2 α 1 ，試問 t1 ， t2 滿足什么條件時，β 1 ，β 2 ，…，β s 也是 AX=0 的基礎(chǔ)解系．

解析 本題的答題要點是： (1) 對任意 t1 ， t2 ，β i ， i ＝ 1 ， 2 ，…， s 仍是 AX ＝ 0 的解； (2) 對任意 t1 ， t2 ，β 1 ，β 2 ，…，β s 向量個數(shù)是 s ； (3) β 1 ，β 2 ，…，β s ，線性無關(guān) <=>t1s+( 一 1)n+1t2s ≠ 0 ． 滿足 (1) 、 (2) 、 (3) 時，即， t1s+( 一 1)n+1t2s 一 1) ”≠ 0 時，β 1 ，β 2 ，…，β s 仍是 AX ＝ 0 的基礎(chǔ)解系．

變式 (1) ( 改變成線性相關(guān)性試題 )

已知向量組α 1 ，α 2 ，…，α s 線性無關(guān)，β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+ t2 α 3 ，…，β s ＝ t1 α s+t2 α 1 ，試問 t1 ， t2 滿足什么條件時，β 1 ，β 2 ，…，β s 線性無關(guān)．

變式 (2) ( 改變成向量組的秩的試題 )

已知向量組α 1 ，α 2 ，…，α s 的秩為 s ．β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+t2 α 3 ，…，β s ＝ t1 α s+ t2 α 1 ，試問 t1 ， t2 滿足什么條件時， r( β 1 ，β 2 ，…，β s) ＝ s ．

變式 (3) ( 改變成等價向量組的試題 )

已知α 1 ，α 2 ，…，α s 線性無關(guān)，β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+t2 α 3 ，…，β s ＝ t1 α s+t2 α 1 ，試問 t1 ， t2 滿足什么條件時，β 1 ，β 2 ，…，β s 和α 1 ，α 2 ，…，α s 是等價向量組．

變式 (4) ( 改變成子空間的基的試題 )

設(shè) y 是 Rn 的子空間，α 1 ，α 2 ，…，α s 是 V 的基，β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+t2 α 3 ，…，β s ＝ t1 α s+t2 α 1 ，試問 t1 ， t2 滿足什么條件時，β 1 ，β 2 ，…，β s 也是子空間 V 的基．

????????難道你不認為以上的各種變式基本上是一樣的嗎 ? 它們的答題要點是什么呢 ?

??????? 改變試題難度，將向量個數(shù) s 具體化，則成 2001 年數(shù)學(xué)試卷二第十二題．

變式 (5) 已知α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ，是線性方程組 AX=0 的基礎(chǔ)解系，β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+t2 α 3 ，β 3 ＝ t1 α 3+t2 α 4 ，β 4 ＝ t1 α 4+t2 α 3 ，，試問 t1 ， t2 滿足什么條件時，β 1 ，β 2 ，β 3 ，β 4 ，也是 AX ＝ 0 的基礎(chǔ)解系．

改變參數(shù)，你不是可以“隨心所欲”嗎 ?

變式 (6) 已知α 1 ，α 2 ，…，α s 是 AX ＝ 0 的基礎(chǔ)解系，β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+t2 α 3 ，…，β s ＝ t1 α s+t2 α 1 ，試問α 1 ，α 2 ，…，α s ，滿足什么條件時，β 1 ，β 2 ，…，β s 也是 AX ＝ 0 的基礎(chǔ)解系．

如果你體會不到以上各種變式實質(zhì)上是一樣的，那么你沒有學(xué)“活”線性代數(shù)，你的知識點還是孤立的．

　　由于知識間的緊密聯(lián)系和滲透，而綜合考試試題不再依附于某章、某節(jié) ( 依附于某章、某節(jié)后面的習(xí)題，實際上是給解題人提供了用該章、該節(jié)的內(nèi)容和方法解題的提示 ) ，這會給考生解題帶來困難．學(xué)“活”并非易事，需要經(jīng)?？偨Y(jié)，廣開思路．

例 3 已知 A 是 n 階正定陣， B 是 n 階反對稱陣，證明 A-B2 是正定陣．

解析 本題題目本身有提示性，已知的是正定陣，要證的也是正定陣，顯然屬于二次型中有關(guān)正定性的試題，具體解答如下．

B 是反對稱陣，故 BT ＝ -B ．

任給 X ≠ 0 ，因 A 正定，故 XTAX>O ，又 XT( 一 B2)X ＝ XTBTBX ＝ (BX)TBX ≥ 0 ．

故有 XT(A-B2)X ＝ XT(A+(-B)B)X ＝ XT(A+BTB)X ＝ XTAX+(BX)TBX>O ．

所以 A-B2 是正定陣．

變式 (1) 已知 A 是 n 階正定陣， B 是 n 階反對稱陣．證明 A-B2 是可逆陣． v 這個變式要求證明 A-B2 可逆，但已知 A 正定．為了利用已知條件，還可以想到 A-B2 是否正定，即若證明了 A-B2 正定，自然也就證明了 A-B2 可逆．

變式 (2) 已知 B 是 n 階反對稱陣， E 是 n 階單位陣，證明 E-B2 可逆．

這個變式中，隱去了 A 是正定陣的條件，而是給了一個具體的正定陣 E ，要求想到用證正定的角度來證 E-B2 可逆，難度就相當(dāng)大了，這需要經(jīng)驗的積累和總結(jié)．

　　由于知識間的廣泛聯(lián)系和相互滲透，給不少題的一題多解創(chuàng)造了條件．你可以從各個不同的角度去研究試題，找到一個合適的切入點，從而最終找到問題的答案．

　　總之，重視三基，重視各章節(jié)之間的聯(lián)系，重視從多角度研究試題，重視靈活性和綜合性，重視應(yīng)用，是取得理想成績的必由之路。

　　其實個人認為，在高數(shù)、線代、概率這三部分當(dāng)中，線代是最簡單的了，也不像高數(shù)那么靈活多變，只要掌握了基本知識，多作些題，再細心一些，這部分拿高分很容易。