如何備考考研線性代數(shù)_跨考網(wǎng)
一、“早”.提倡一個“早”字,是提醒考生考研數(shù)學(xué)備考要早計劃、早安排、早動手.因為數(shù)學(xué)是一門思維嚴謹、邏輯性強、相對比較抽象的學(xué)科.和一些記憶性較多的學(xué)科不同,數(shù)學(xué)需要理解的概念多,方法又靈活多變,而理解概念,特別是理解比較抽象的概念是一個漸近的過程,它需要思考、消化,需要琢磨、需要從不同的角度、不同的側(cè)面的深入研究,總之它需要時間,任何搞突擊,搞速成的思想不可取,這對大多數(shù)考生而言,不可能取得成功;另一方面,早計劃、早安排、早動手是采取“笨鳥先飛”之策,這是考研的激烈競爭現(xiàn)實所要求的,早一天準備,多一分成績,多一份把握,現(xiàn)在不少大一、大二的在校生已經(jīng)在準備 2 ~ 3 年后的考研,這似乎是早了點,但作為一個目標、作為一個追求,無可非議.作為 2010 年的考生,從現(xiàn)在開始備考,恐怕已經(jīng)不算太早了.
二、“綱”.突出一個綱字,就是要認真研究考試大綱,要根據(jù)考試大綱規(guī)定的考試內(nèi)容、考試要求、考試樣題有計劃地、認真地、全面地、系統(tǒng)地復(fù)習(xí)備考,加強備考的針對性.
由于全國基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教材 ( 高等數(shù)學(xué),線性代數(shù),概率論和數(shù)理統(tǒng)計 ) 并不統(tǒng)一,各學(xué)校、各專業(yè)對這些課程要求的層次也各不相同,因此教育部并沒有指定統(tǒng)一的教材或參考書作為命題的依據(jù),而是以教育部制定的《全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱》 ( 下稱《大綱》 ) 作為考試的法規(guī)性文件,命題以《大綱》為依據(jù),考生備考復(fù)習(xí)當(dāng)然也應(yīng)以《大綱》為依據(jù).
為了讓廣大考生對“考什么”有一定的了解 ( 不是盲目的備考 ) ,教育部考試中心命制的試題,每年都具有穩(wěn)定性、連續(xù)性的特點.《大綱》提供的樣題及歷屆試題也在于讓考生了解“考什么”.歷屆試題中,從來沒有出過偏題、怪題,也沒有出過超過大綱范圍的超綱題.當(dāng)然,一份好的試題,首先要有好的區(qū)分度,使高水平考生考出好成績,因此試題中難、易試題要有恰當(dāng)?shù)拇钆洌辉囶}的總量必須有一定的限制,同時試題還要有盡可能大的覆蓋面,因此一味地去做難題,甚至怪題、偏題是不可取的,“題海戰(zhàn)術(shù)”不能替代全面、系統(tǒng)的復(fù)習(xí),由于試題有極大的覆蓋面,每年試題幾乎都要覆蓋所有的章節(jié),因此偏廢某部分內(nèi)容也是不恰當(dāng)?shù)模魏巍安骂}”及僥幸心理都會導(dǎo)致失?。挥懈鶕?jù)大綱,全面、系統(tǒng)地復(fù)習(xí),不留遺漏,才不會留下遺憾.
三、“基”.強調(diào)一個“基”字,是指要強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的三基,即要重視基本概念的理解,基本方法的掌握,基本運算的熟練.
基本概念理解不透徹,對解題會帶來思維上的困難和混亂.因此對概念必須搞清它的內(nèi)涵,還要研究它的外延,要理解正面的含義,還要思考、理解概念的側(cè)面、反面.例如關(guān)于矩陣的秩,教材中的定義是: A 是陰 Xn 矩陣,若 A 中有一個 r 階子式不為零,所有 r 階以上子式 ( 如果它還有的話 ) 均為零,則稱 A 的秩為 r ,記成 rank(A) : r( 或 r(A) = r ,秩 A = r) .顯然,定義中內(nèi)涵的要點有: 1 . A 中至少有一個 r 階子式不為零; 2 .所有 r 階以上均為零. 3 .若所有 r+1 子式都為零,則必有所有 r 階以上子式均為零.要點 2 和 3 是等價條件,至于 r 階子式是否可以為零?小于 r 階的子式是否可以為零 ? 所有 r-1 階的子式是否可以全部為零?這些都是秩的概念的外延內(nèi)容,如果這些概念搞清楚了。那么下述選擇題就會迎刃而解.
例 1 設(shè) A 是 m × n 矩陣, r(A) = r
(B) 有不等于零的 r 階子式,沒有不等于零的 r+1 階子式.
(C) 有等于零的 r 階子式,沒有不等于零的 r+1 階子式.
(D) 任何 r 階子式不等于零,任何 r+1 階子式都等于零.
答案: (B)
基本方法要熟練掌握.熟練掌握不等于死記硬背,相反要抓問題的實質(zhì),要在理解的基礎(chǔ)上適當(dāng)記憶.把需要記憶的東西縮小到最低限度,很多方法可以通過練習(xí)來記住,例如一個實對稱矩陣,一定存在正交矩陣,通過正交變換化為對角陣,其步驟較多,但通過練習(xí),不難解決.
基本計算要熟練.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),離不開計算,計算要熟練,當(dāng)然要做一定數(shù)量的習(xí)題,通過一定數(shù)量的習(xí)題,把計算的基本功練扎實.在練習(xí)過程中,自覺的提高運算能力,提高運算的準確性,養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣和科學(xué)作風(fēng).特別對線性代數(shù)而言,運算并不復(fù)雜,大量的運算是大家早已熟練了的加法和乘法,從而養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣和科學(xué)作風(fēng)顯得尤為重要。例如線性代數(shù)的前四章中 ( 行列式、矩陣、向量、方程組 ) 絕大多數(shù)的運算是初等變換.用初等變換求行列式的值、求逆矩陣、求向量組 ( 或矩陣 ) 的秩、求向量組的極大線性無關(guān)組、求方程組的解等.可以想象,一旦初等變換過程中出現(xiàn)某個數(shù)值計算錯誤,那你的答案將是什么樣的結(jié)果?從歷屆數(shù)學(xué)試題來看,每年需要通過計算得分的內(nèi)容均在 70% 左右,可見計算能力培養(yǎng)的重要.只聽 ( 聽各種輔導(dǎo)班 ) 不練,只看 ( 看各類輔導(dǎo)資料 ) 不練,眼高手低,專找難題做,這并不適合一般考生的情況,在歷屆考生中,不乏有教訓(xùn)慘痛的人.
四、“活”.線性代數(shù)中概念多、定理多、符號多、運算規(guī)律多,內(nèi)容相互縱橫交錯,知識前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點,故考生應(yīng)通過全面系統(tǒng)的復(fù)習(xí),充分理解概念,掌握定理的條件、結(jié)論及應(yīng)用,熟悉符號的意義,掌握各種運算規(guī)律、計算方法,并及時進行總結(jié),抓聯(lián)系,抓規(guī)律,使零散的知識點串起來、連起來,使所學(xué)知識融會貫通,實現(xiàn)一個“活”字.
線性代數(shù)各章節(jié)的內(nèi)容,不是孤立割裂的,而是相互滲透、緊密聯(lián)系的.如 A 是 n 階方陣,若,| A |≠ 0( 稱 A 為非奇陣 ) . <=>A 是可逆陣. <=> 有 n 階方陣 B ,使得 AB=BA=E . <=>B=A-1 = A* /| A |. <=>r(A)=n( 稱 A 是滿秩陣 ) . <=> 存在若干個初等陣 P1 , P2 ,…, PN ,使得 PNPN-1 … P1A=E . <=>(A ┆ E) → (E ┆ A-1) . <=>A 可表示成若干個可逆陣的乘積. <=>A 可表示成若干個初等陣的積。 <=>A 的列向量組線性無關(guān) ( 列滿秩 ) . <=>AX=0 ,唯一零解. <=>A 的行向量組線性無關(guān) ( 行滿秩 ) . <=>A 的列 ( 行 ) 向量組是 Rn 空間的基. <=> 任何 n 維列向量 b 均可由 A 的列向量線性表出 ( 且表出法唯一 ) . <=> 對任意的列向量 b ,方程組 AX = b 有唯一解,且唯一解為 A-1b<=>A 沒有零特征值,即λ i ≠ O , i = 1 , 2 ,…, n . <=A 是正定陣 ( 正交陣,… ) . 這種知識間的相互聯(lián)系、滲透,給綜合命題創(chuàng)造了條件,同樣一個試題,可以從不同的角度有多種命制試題的方法.
例 2 (2001 年數(shù)學(xué)一第九題 ) 設(shè)α 1 ,α 2 ,…,α s ,是線性方程組 AX = 0 的基礎(chǔ)解系,β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+t2 α 3 ,…,β s = t1 α s+t2 α 1 ,試問 t1 , t2 滿足什么條件時,β 1 ,β 2 ,…,β s 也是 AX=0 的基礎(chǔ)解系.
解析 本題的答題要點是: (1) 對任意 t1 , t2 ,β i , i = 1 , 2 ,…, s 仍是 AX = 0 的解; (2) 對任意 t1 , t2 ,β 1 ,β 2 ,…,β s 向量個數(shù)是 s ; (3) β 1 ,β 2 ,…,β s ,線性無關(guān) <=>t1s+( 一 1)n+1t2s ≠ 0 . 滿足 (1) 、 (2) 、 (3) 時,即, t1s+( 一 1)n+1t2s 一 1) ”≠ 0 時,β 1 ,β 2 ,…,β s 仍是 AX = 0 的基礎(chǔ)解系.
變式 (1) ( 改變成線性相關(guān)性試題 )
已知向量組α 1 ,α 2 ,…,α s 線性無關(guān),β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+ t2 α 3 ,…,β s = t1 α s+t2 α 1 ,試問 t1 , t2 滿足什么條件時,β 1 ,β 2 ,…,β s 線性無關(guān).
變式 (2) ( 改變成向量組的秩的試題 )
已知向量組α 1 ,α 2 ,…,α s 的秩為 s .β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+t2 α 3 ,…,β s = t1 α s+ t2 α 1 ,試問 t1 , t2 滿足什么條件時, r( β 1 ,β 2 ,…,β s) = s .
變式 (3) ( 改變成等價向量組的試題 )
已知α 1 ,α 2 ,…,α s 線性無關(guān),β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+t2 α 3 ,…,β s = t1 α s+t2 α 1 ,試問 t1 , t2 滿足什么條件時,β 1 ,β 2 ,…,β s 和α 1 ,α 2 ,…,α s 是等價向量組.
變式 (4) ( 改變成子空間的基的試題 )
設(shè) y 是 Rn 的子空間,α 1 ,α 2 ,…,α s 是 V 的基,β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+t2 α 3 ,…,β s = t1 α s+t2 α 1 ,試問 t1 , t2 滿足什么條件時,β 1 ,β 2 ,…,β s 也是子空間 V 的基.
????????難道你不認為以上的各種變式基本上是一樣的嗎 ? 它們的答題要點是什么呢 ?
??????? 改變試題難度,將向量個數(shù) s 具體化,則成 2001 年數(shù)學(xué)試卷二第十二題.
變式 (5) 已知α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ,是線性方程組 AX=0 的基礎(chǔ)解系,β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+t2 α 3 ,β 3 = t1 α 3+t2 α 4 ,β 4 = t1 α 4+t2 α 3 ,,試問 t1 , t2 滿足什么條件時,β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 ,也是 AX = 0 的基礎(chǔ)解系.
改變參數(shù),你不是可以“隨心所欲”嗎 ?
變式 (6) 已知α 1 ,α 2 ,…,α s 是 AX = 0 的基礎(chǔ)解系,β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+t2 α 3 ,…,β s = t1 α s+t2 α 1 ,試問α 1 ,α 2 ,…,α s ,滿足什么條件時,β 1 ,β 2 ,…,β s 也是 AX = 0 的基礎(chǔ)解系.
如果你體會不到以上各種變式實質(zhì)上是一樣的,那么你沒有學(xué)“活”線性代數(shù),你的知識點還是孤立的.
由于知識間的緊密聯(lián)系和滲透,而綜合考試試題不再依附于某章、某節(jié) ( 依附于某章、某節(jié)后面的習(xí)題,實際上是給解題人提供了用該章、該節(jié)的內(nèi)容和方法解題的提示 ) ,這會給考生解題帶來困難.學(xué)“活”并非易事,需要經(jīng)??偨Y(jié),廣開思路.
例 3 已知 A 是 n 階正定陣, B 是 n 階反對稱陣,證明 A-B2 是正定陣.
解析 本題題目本身有提示性,已知的是正定陣,要證的也是正定陣,顯然屬于二次型中有關(guān)正定性的試題,具體解答如下.
B 是反對稱陣,故 BT = -B .
任給 X ≠ 0 ,因 A 正定,故 XTAX>O ,又 XT( 一 B2)X = XTBTBX = (BX)TBX ≥ 0 .
故有 XT(A-B2)X = XT(A+(-B)B)X = XT(A+BTB)X = XTAX+(BX)TBX>O .
所以 A-B2 是正定陣.
變式 (1) 已知 A 是 n 階正定陣, B 是 n 階反對稱陣.證明 A-B2 是可逆陣. v 這個變式要求證明 A-B2 可逆,但已知 A 正定.為了利用已知條件,還可以想到 A-B2 是否正定,即若證明了 A-B2 正定,自然也就證明了 A-B2 可逆.
變式 (2) 已知 B 是 n 階反對稱陣, E 是 n 階單位陣,證明 E-B2 可逆.
這個變式中,隱去了 A 是正定陣的條件,而是給了一個具體的正定陣 E ,要求想到用證正定的角度來證 E-B2 可逆,難度就相當(dāng)大了,這需要經(jīng)驗的積累和總結(jié).
由于知識間的廣泛聯(lián)系和相互滲透,給不少題的一題多解創(chuàng)造了條件.你可以從各個不同的角度去研究試題,找到一個合適的切入點,從而最終找到問題的答案.
總之,重視三基,重視各章節(jié)之間的聯(lián)系,重視從多角度研究試題,重視靈活性和綜合性,重視應(yīng)用,是取得理想成績的必由之路。
其實個人認為,在高數(shù)、線代、概率這三部分當(dāng)中,線代是最簡單的了,也不像高數(shù)那么靈活多變,只要掌握了基本知識,多作些題,再細心一些,這部分拿高分很容易。
2022考研初復(fù)試已經(jīng)接近尾聲,考研學(xué)子全面進入2023屆備考,跨考為23考研的考生準備了10大課包全程準備、全年復(fù)習(xí)備考計劃、目標院校專業(yè)輔導(dǎo)、全真復(fù)試模擬練習(xí)和全程針對性指導(dǎo);2023考研的小伙伴針也已經(jīng)開始擇校和復(fù)習(xí)了,跨考考研暢學(xué)5.0版本全新升級,無論你在校在家都可以更自如的完成你的考研復(fù)習(xí),暑假集訓(xùn)營帶來了院校專業(yè)初步選擇,明確方向;考研備考全年規(guī)劃,核心知識點入門;個性化制定備考方案,助你贏在起跑線,早出發(fā)一點離成功就更近一點!
點擊右側(cè)咨詢或直接前往了解更多
考研院校專業(yè)選擇和考研復(fù)習(xí)計劃 | |||
2023備考學(xué)習(xí) | 2023線上線下隨時學(xué)習(xí) | 34所自劃線院校考研復(fù)試分數(shù)線匯總 | |
2022考研復(fù)試最全信息整理 | 全國各招生院??佳袕?fù)試分數(shù)線匯總 | ||
2023全日制封閉訓(xùn)練 | 全國各招生院??佳姓{(diào)劑信息匯總 | ||
2023考研先知 | 考研考試科目有哪些? | 如何正確看待考研分數(shù)線? | |
不同院校相同專業(yè)如何選擇更適合自己的 | 從就業(yè)說考研如何擇專業(yè)? | ||
手把手教你如何選專業(yè)? | 高校研究生教育各學(xué)科門類排行榜 |
相關(guān)推薦
2022考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)易錯知識點整理匯總
2022考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo):選擇題八種解題方法
2022考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)階段切記避開這些誤區(qū)!
2022考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)必備的四類資料
2022考研數(shù)學(xué)備考:提高記憶效率的10個技巧
2022考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考十一大知識模塊總結(jié)
2022考研數(shù)學(xué)寒假復(fù)習(xí)備考策略!
2022考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo):記住六點提高復(fù)習(xí)效率
跨考考研課程
班型 | 定向班型 | 開班時間 | 高定班 | 標準班 | 課程介紹 | 咨詢 |
秋季集訓(xùn) | 沖刺班 | 9.10-12.20 | 168000 | 24800起 | 小班面授+專業(yè)課1對1+專業(yè)課定向輔導(dǎo)+協(xié)議加強課程(高定班)+專屬規(guī)劃答疑(高定班)+精細化答疑+復(fù)試資源(高定班)+復(fù)試課包(高定班)+復(fù)試指導(dǎo)(高定班)+復(fù)試班主任1v1服務(wù)(高定班)+復(fù)試面授密訓(xùn)(高定班)+復(fù)試1v1(高定班) | |
2023集訓(xùn)暢學(xué) | 非定向(政英班/數(shù)政英班) | 每月20日 | 22800起(協(xié)議班) | 13800起 | 先行階在線課程+基礎(chǔ)階在線課程+強化階在線課程+真題階在線課程+沖刺階在線課程+專業(yè)課針對性一對一課程+班主任全程督學(xué)服務(wù)+全程規(guī)劃體系+全程測試體系+全程精細化答疑+擇校擇專業(yè)能力定位體系+全年關(guān)鍵環(huán)節(jié)指導(dǎo)體系+初試加強課+初試專屬服務(wù)+復(fù)試全科標準班服務(wù) |