復(fù)習(xí)線性代數(shù)要注重知識點的銜接與轉(zhuǎn)換_跨考網(wǎng)
本文現(xiàn)針對線性代數(shù)課程的特點,提如下建議供考生參考。
一、注重對基本概念的理解與把握,正確熟練運用基本方法及基本運算。
線性代數(shù)的概念很多,重要的有:
代數(shù)余子式,伴隨矩陣,逆矩陣,初等變換與初等矩陣,正交變換與正交矩陣,秩(矩陣、向量組、二次型),等價(矩陣、向量組),線性組合與線性表出,線性相關(guān)與線性無關(guān),極大線性無關(guān)組,基礎(chǔ)解系與通解,解的結(jié)構(gòu)與解空間,特征值與特征向量,相似與相似對角化,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形,正定,合同變換與合同矩陣。
往年常有考生沒有準(zhǔn)確把握住概念的內(nèi)涵,也沒有注意相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系,導(dǎo)致做題時出現(xiàn)錯誤。
例如,矩陣 A=(α1,α2,…,αm)與B=(β1,β2…,βm)等價,意味著經(jīng)過初等變換可由A得到B,要做到這一點,關(guān)鍵是看秩r(A)與r(B)是否相等,而向量組α1,α2,…αm與β1,β2,…βm等價,說明這兩個向量組可以互相線性表出,因而它們有相同的秩,但是向量組有相同的秩時,并不能保證它們必能互相線性表現(xiàn),也就得不出向量組等價的信息,因此,由向量組α1,α2,…αm與β1,β2,…βm等價,可知矩陣A=(α1,α2,…αm)與B=(β1,β2,…βm)等價,但矩陣A與B等價并不能保證這兩個向量組等價。
又如,實對稱矩陣 A與B合同,即存在可逆矩陣C使CTAC=B,要實現(xiàn)這一點,關(guān)鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負(fù)慣性指數(shù)是否相同,而A與B相似是指有可逆矩陣P使P-1AP=B成立,進(jìn)而知A與B有相同的特征值,如果特征值相同可知正、負(fù)慣性指數(shù)相同,但正負(fù)慣性指數(shù)相同時,并不能保證特征值相同,因此,實對稱矩陣A~B??A??B,即相似是合同的充分條件。
線性代數(shù)中運算法則多,應(yīng)整理清楚不要混淆,基本運算與基本方法要過關(guān),重要的有:
行列式(數(shù)字型、字母型)的計算,求逆矩陣,求矩陣的秩,求方陣的冪,求向量組的秩與極大線性無關(guān)組,線性相關(guān)的判定或求參數(shù),求基礎(chǔ)解系,求非齊次線性方程組的通解,求特征值與特征向量(定義法,特征多項式基礎(chǔ)解系法),判斷與求相似對角矩陣,用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。
二、注重知識點的銜接與轉(zhuǎn)換,知識要成網(wǎng),努力提高綜合分析能力。
線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯,前后聯(lián)系緊密,環(huán)環(huán)相扣,相互滲透,因此解題方法靈活多變,復(fù)習(xí)時應(yīng)當(dāng)常問自己做得對不對?再問做得好不好?只有不斷地歸納總結(jié),努力搞清內(nèi)在聯(lián)系,使所學(xué)知識融會貫通,接口與切入點多了,熟悉了,思路自然就開闊了。
例如:設(shè) A是m×n矩陣,B是n×s矩陣,且AB=0,那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax=0的解,再根據(jù)基礎(chǔ)解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系,可以有
r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n
進(jìn)而可求矩陣 A或B中的一些參數(shù)
再如,若 A是n階矩陣可以相似對角化,那么,用分塊矩陣處理P-1AP=∧可知A有n個線性無關(guān)的特征向量,P就是由A的線性無關(guān)的特征向量所構(gòu)成,再由特征向量與基礎(chǔ)解系間的聯(lián)系可知此時若λi是ni重特征值,則齊次方程組(λiE-A)x=0的基礎(chǔ)解系由ni個解向量組成,進(jìn)而可知秩r(λiE-A)=n-ni,那么,如果A不能相似對角化,則A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)<n-ni,若A是實對稱矩陣,則因A必能相似對角化而知對每個特征值λi必有r(λiE-A)=n-ni,此時還可以利用正交性通過正交矩陣來實現(xiàn)相似對角化。
又比如,對于 n階行列式我們知道:
若| A|=0,則Ax=0必有非零解,而Ax=b沒有惟一解(可能有無窮多解,也可能無解),而當(dāng)|A|≠0時,可用克萊姆法則求Ax=b的惟一解;
可用| A|證明矩陣A是否可逆,并在可逆時通過伴隨矩陣來求A-1;
對于 n個n維向量α1,α2,…αn可以利用行列式|A|=|α1α2…αn|是否為零來判斷向量組的線性相關(guān)性;
矩陣 A的秩r(A)是用A中非零子式的最高階數(shù)來定義的,若r(A)<r,則A中r階子式全為0;
求矩陣 A的特征值,可以通過計算行列式|λE-A|,若λ=λ0是A的特征值,則行列式|λ0E-A|=0;
判斷二次型 xTAx的正定性,可以用順序主子式全大于零。
凡此種種,正是因為線性代數(shù)各知識點之間有著千絲萬縷的聯(lián)系,代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大,同學(xué)們整理時要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。
三、注重邏輯性與敘述表述
線性代數(shù)對于抽象性與邏輯性有較高的要求,通過證明題可以了解考生對數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度,考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時,應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件,不能張冠李戴,同時還應(yīng)注意語言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡明。
線性代數(shù)中常見的證明題型有:
證| A|=0;證向量組α1,α2,…αt的線性相關(guān)性,亦可引伸為證α1,α2…,αt是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系;證秩的等式或不等式;證明矩陣的某種性質(zhì),如對稱,可逆,正交,正定,可對角化,零矩陣等;證齊次方程組是否有非零解;線性方程組是否有解(亦即β能否由α1,α2…,αs線性表出);對給出的兩個方程組論證其同解性或有無公共解;證二次型的正定性,規(guī)范形等。
總之,數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化,有各種延伸或變式,同學(xué)們要在考試中取得好成績,一定要認(rèn)真仔細(xì)地復(fù)習(xí),華而不實靠押題碰運氣是行不通的,必須要重視三基,多思多議,不斷地總結(jié)經(jīng)驗與教訓(xùn),做到融會貫通。2022考研初復(fù)試已經(jīng)接近尾聲,考研學(xué)子全面進(jìn)入2023屆備考,跨考為23考研的考生準(zhǔn)備了10大課包全程準(zhǔn)備、全年復(fù)習(xí)備考計劃、目標(biāo)院校專業(yè)輔導(dǎo)、全真復(fù)試模擬練習(xí)和全程針對性指導(dǎo);2023考研的小伙伴針也已經(jīng)開始擇校和復(fù)習(xí)了,跨考考研暢學(xué)5.0版本全新升級,無論你在校在家都可以更自如的完成你的考研復(fù)習(xí),暑假集訓(xùn)營帶來了院校專業(yè)初步選擇,明確方向;考研備考全年規(guī)劃,核心知識點入門;個性化制定備考方案,助你贏在起跑線,早出發(fā)一點離成功就更近一點!
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