考研數(shù)學(xué)必考題型之冪級數(shù)展開與求和

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　　“任時光匆匆流去，我還在級數(shù)上徘徊，心甘情愿為你付出我所有……”，形象的描述了考研數(shù)學(xué)級數(shù)的特點(diǎn)，就是復(fù)習(xí)起來耗時多、有難度，很多考生對這部分內(nèi)容都比較畏懼。而級數(shù)這章屬于考研必考的題型之一，本周田老師就為各位揭開考研數(shù)學(xué)級數(shù)的神秘面紗，深度為您解讀級數(shù)的那些事。

　　級數(shù)在考研數(shù)學(xué)中屬于數(shù)一和數(shù)三要考查的內(nèi)容，考點(diǎn)有三：(1)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判(2)冪級數(shù)展開與求和(3)傅里葉級數(shù)，其中常數(shù)項(xiàng)斂散性判別主要以選擇題進(jìn)行考察，冪級數(shù)展開與求和主要以解答題形式考查，傅里葉級數(shù)是數(shù)學(xué)一單獨(dú)考查內(nèi)容。下面咱們主要解讀這部分的核心內(nèi)容：冪級數(shù)展開與求和。

　　冪級數(shù)展開與求和屬于高頻考點(diǎn)，學(xué)好展開與求和至關(guān)重要。首先，我們需要兩大工具：(1)常見泰勒級數(shù)及收斂域;(2)冪級數(shù)性質(zhì)：逐項(xiàng)展開與逐項(xiàng)求導(dǎo)。其次，要掌握常用方法。

　　展開常用方法，一是直接展開，這種考法較少，二是間接展開，以這種考法居多。間接展開解題的要點(diǎn)如下。

　　(1)轉(zhuǎn)化，將函數(shù)f(x)在某非零點(diǎn)處展開，轉(zhuǎn)化到在x=0處展開。

　　(2)拆項(xiàng)，將函數(shù)拆成兩項(xiàng)之和或差，然后利用常見函數(shù)的冪級數(shù)展開將兩個展開式求和或者求差便可。如1995年數(shù)三的解答題就是把對數(shù)函數(shù)拆成兩個對數(shù)函數(shù)之和然后用泰勒級數(shù)直接展開即可。

　　(3)因式分解，將函數(shù)分解成兩項(xiàng)之積，一般其中一個因式為低次(至多為二次)多項(xiàng)式，另一個用常見冪級數(shù)展開式展開。如2006年數(shù)一級數(shù)的那道大題就是因式分解成兩個分式然后分別泰勒展開。

　　(4)求導(dǎo)法，先對函數(shù)求導(dǎo)，再用常見冪級數(shù)展開式展開，最后逐項(xiàng)積分，這種考法比較常見如1994年、2001年數(shù)學(xué)一都是這么考查的。

　　(5)積分法，先對函數(shù)積分，再用常見冪級數(shù)展開式展開，最后逐項(xiàng)求導(dǎo)，與(4)類似屬于?？碱}型。

　　冪級數(shù)求和是展開的逆問題，比展開要難，考研中常用到的方法如下。

　　(1)直接套用已知的基本展開式，后者拆后套用。

　　(2)系數(shù)的分母中含有n的階乘的，考慮用指數(shù)函數(shù),或者正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的某種組合。

　　(3)系數(shù)的分母中含有n、n+1、n+2的可以先逐項(xiàng)求導(dǎo)。系數(shù)的分子中含有n、n+1、n+2的可以先逐項(xiàng)積分。

　　除此之外，展開與求和部分還會考一些綜合性題目，如跟微分方程、積分等結(jié)合在一起考查。

　　展開和求和的常規(guī)題型，大家要做到看到題就要有思路，提起筆就能順暢的寫出答案，這還是離不開多練習(xí)，練習(xí)才是正道!

　　(跨考教育數(shù)學(xué)教研室 田曉輝)

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