2016考研數(shù)學極限復習建議
基礎階段,我們的目標是三基本:基本概念、基本定理、基本方法,因此在基礎階段學習極限應從兩個方面著手,一是極限的定義,二是極限的運算。極限的定義在考試大綱中明確要求是理解,理解的意思并不是會背誦定義內容,而是能夠領會定義內容背后的所蘊含的含義,正確理解所代表的任意小以及代表的距離。
除定義本身以外,極限的趨近狀態(tài)也要注意區(qū)分,對于函數(shù)來說有六種趨近狀態(tài):各自的含義要非常清楚,而數(shù)列只有一種趨近狀態(tài),雖然沒有指明,但是數(shù)列里邊的隱含之意為。
極限的計算則需要首先掌握考研數(shù)學要考到的七種基本方法,知道七種方法適用的情況。
第一種是四則運算,此方法大家最為熟悉,但比較容易出錯,需要注意使用四則運算的前提是進行運算的函數(shù)極限必須都是存在的;
第二種是等價無窮小替換,這一方法比較受歡迎,而且很多極限計算的問題只需經(jīng)過等價無窮小代換就能得出結果,不需再使用其他方法,需要注意的是等價無窮小代換前提必須首先是無窮小才可代換,另外只能在乘積因子內代換(有些是可以在加減因子中代換的,但是在沒有十足把握的情況下應避免使用在加減因子中代換);
第三種是洛必達法則,適用于及 型未定式,在使用的過程中需要注意一下幾點:
1、洛必達法則必須結合等價無窮小使用;
2、使用一次整理一次;
3、其他類型未定式需要轉化成 及 型才可以使用洛必達法則等;
第四種是泰勒展式,這是解決極限問題的利器,在基礎階段不必要求掌握如何使用,只需了解泰勒展式的內容即可,具體使用原則會在強化階段給出;
第五種是夾逼定理,主要用于解決含有不等式關系的極限問題,特別應用于 個分式之和的數(shù)列極限問題,通過放縮分母來達到出現(xiàn)不等關系的目的;
第六種是定積分的定義,與夾逼定理相區(qū)別,夾逼定理解決的問題放縮分母后分子可用一個式子去表示,而定積分的定義可解決夾逼定理不能解決的問題,通過主要的三步:1、提取,2、湊出,3、極限符號及連加符號改寫為,改寫為,改寫為計算定積分即可解決個分式之和的數(shù)列極限問題;
第七種方法是適用于數(shù)列極限的單調有界性定理,難點在于如何確定證明方向,一般單調有界性定理適用于由遞推公式給出的數(shù)列極限問題,因此可采取數(shù)學歸納法證明有界性,做差的辦法證明單調性。
以上,從大的框架結構上給出了極限一章極限定義和極限計算的常用方法,希望同學們對這一章有一個宏觀的把握,但是具體的細節(jié)掌握還要待進一步細致的學習。在復習的過程中要多留心多總結把重要的方法記錄下來,錯題記錄下來方便后續(xù)的自我檢查。
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