2015考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：思而去罔(二)_跨考網(wǎng)

　　3. 學(xué)數(shù)學(xué)同時也學(xué)了英語，理解了漢語同時也記住了數(shù)學(xué)符號。這狀態(tài)聽起來不錯，要不要試一下?

　　(1) 微分的符號為什么是“d”?為什么常用“I”表示一個定積分?矩陣轉(zhuǎn)置的符號為什么是“T”?

　　“d”是微分的英文differential的首字母;“I”是積分的英文integral 的首字母;“T”是轉(zhuǎn)置的英文transpose 的首字母。

　　(2) 微分方程的類型不少，你能根據(jù)名字識別它們嗎?

　　關(guān)于微分方程，我們在基礎(chǔ)階段要掌握的是識別和求解。

　　對于可分離變量的微分方程，如何識別?關(guān)鍵信息就在它的名字中——“可分離變量”。如果所給微分方程的x和y是完全可以分開的，那么這就屬于此類方程。它的解法也與名字“可分離變量”直接相關(guān)——通過恒等變形把x和y的式子移到等式的兩邊，然后兩邊求不定積分即可。

　　對于齊次微分方程，也可以通過名稱識別：齊次是什么意思?字面含義是次數(shù)相等?！褒R次微分方程”的“齊次”指方程的每一項關(guān)于x、y次數(shù)都相等，如x的平方，x乘y，y的平方均為二次項(注意 “齊次線性方程組”中的“齊次”是指每個方程的每一項關(guān)于x的次數(shù)相等; “二階常系數(shù)齊次線性微分方程”中的“齊次”指微分方程的每一項關(guān)于x的次數(shù)相等(都是零次))。那么如果一個一階微分方程，每一項x、y次數(shù)都相等，那么就屬于此類型。

　　對于一階線性微分方程，識別的關(guān)鍵也在其名字——“一階線性”?！耙浑A”體現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)是一階，“線性”在數(shù)學(xué)中即一次的意思，如線性函數(shù)即為一次函數(shù)，體現(xiàn)在微分方程關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)和y是一次的，即不會出現(xiàn)y的導(dǎo)數(shù)的平方或y的導(dǎo)數(shù)乘以y這種非線性的項。

　　對于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，可以類似按關(guān)鍵字“二階”、“常系數(shù)”、“非齊次”和“線性”理解。

　　其實，這部分內(nèi)容也可以理解成“顧名思義”。如果你也覺得挺有意思，那不妨自己主動去發(fā)現(xiàn)。

　　4. 有時，我們可以用聯(lián)想把數(shù)學(xué)和其它學(xué)科聯(lián)系起來，體會某種“異質(zhì)同構(gòu)”的樂趣。

　　(1)求極限的題目中，如果是這種類型的：分子分母均為若干個無窮大的加減，可以用“抓大頭”這種方法。所謂“抓大頭”就是原極限等于從分子分母中分別抓出起決定作用的無窮大再算極限。這種做法是不是用點像“射人先射馬，擒賊先擒王”，或者“首犯必辦，脅從不論”?

　　(2)還有一種求極限的題目，分子或分母中有一項(非因子)是冪指型函數(shù)。有同學(xué)直接把這個冪指型函數(shù)的極限算出來，再算剩余部分的極限。想想他犯了什么錯誤?是犯了刻舟求劍的錯誤，還是形而上學(xué)的錯誤?想想這些是不是有點意思?

　　二、方法

　　1. 在數(shù)學(xué)上，我們學(xué)習(xí)一個新的內(nèi)容，一般是按照定義、性質(zhì)和計算來學(xué)習(xí)。那么大家復(fù)習(xí)時，也可以從這三個方面來進(jìn)行。

　　比如極限、連續(xù)、可導(dǎo)，比如行列式、矩陣、向量等。

　　2. 我們學(xué)習(xí)一種方法，可以問自己這兩個問題：何時用?怎么用?把這兩個問題回答完整了，這種方法也掌握得差不多了。

　　比如不定積分的分部積分法，何時用?被積函數(shù)是兩個不同類型的函數(shù)之積或者被積函數(shù)含有對數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)這類求導(dǎo)之后比自身簡單的函數(shù)。怎么用? 選擇被積函數(shù)的一部分作為u，剩下的部分作為v的導(dǎo)數(shù)。那么什么樣的函數(shù)適合作為u呢?我們觀察分部積分公式會發(fā)現(xiàn)，用了公式后是要對u求導(dǎo)數(shù)的，那么u自然要選擇求導(dǎo)后比自己簡單的函數(shù)。所以，適合作為u的除了上面提到的兩類函數(shù)外，還有多項式。那么什么樣的函數(shù)作為v的導(dǎo)數(shù)呢?再觀察分部積分公式，可以認(rèn)為要用這個公式，第一步是把v的導(dǎo)數(shù)“往微分號d里拿”，即湊微分。所以易湊微分的函數(shù)適合作為v的導(dǎo)數(shù)，比如正余弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)等。

　　再比如帶拉格朗日余項的泰勒公式(帶皮亞諾余項的泰勒公式主要用來算極限)，何時用?出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)(大于等于二階)時。怎么用?選一個函數(shù)，選一個點，把函數(shù)在該點展開。函數(shù)的選擇比較容易，一般題目中就一個函數(shù);點的選擇有點講究，一般是找給出信息比較多的點，最好包含導(dǎo)數(shù)信息。

　　三、其它

　　套用電影《肖申克的救贖》中的臺詞：既然我們已經(jīng)思考了這么多，為什么不再多思考一步呢?

　　1. 我們需要的是靈丹妙藥嗎?

　　課程、輔導(dǎo)書和方法能給我們不小的幫助，但真正使我們能力增強(qiáng)的是我們的主動思考和不懈付出。

　　2. 作為準(zhǔn)研究生的我們應(yīng)當(dāng)如何?

　　研究從主動思考開始，思而去罔。