2015考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：思而去罔(一)_跨考網(wǎng)

　　有同學(xué)認(rèn)為：線(xiàn)性代數(shù)不好學(xué)，因?yàn)樗容^抽象，不像高數(shù)可以畫(huà)圖，借助直觀的圖形去理解。難道線(xiàn)性代數(shù)只能抽象地理解嗎?當(dāng)然不是。我與這個(gè)同學(xué)進(jìn)行了討論，很快就發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)讓這個(gè)貌似抽象的家伙接地氣的方式：二維向量不就是中學(xué)咱們常在平面上畫(huà)的箭頭嗎?兩個(gè)二維向量線(xiàn)性相關(guān)，表現(xiàn)在代數(shù)上是對(duì)應(yīng)分量成比例，表現(xiàn)在幾何上不就是平面上的向量平行或共線(xiàn)嗎?矩陣是一張數(shù)表，C語(yǔ)言中定義的二維數(shù)組不就是一個(gè)矩陣嗎?咱們電腦中用的EXCEL，如果在一塊矩形區(qū)域的每個(gè)小格都存了數(shù)字不就是一個(gè)矩陣嗎?多想一步，別有洞天。我們平時(shí)的學(xué)習(xí)是否太拘泥于課本，而忽略了主動(dòng)地思考，進(jìn)而失去了融會(huì)貫通的機(jī)會(huì)呢?

　　學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆。真正的學(xué)習(xí)應(yīng)該是學(xué)與思的均衡。在這種狀態(tài)下學(xué)習(xí)，不僅能夠做到對(duì)知識(shí)的透徹理解，而且能體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。記得有人說(shuō)過(guò)：真正的學(xué)人應(yīng)該是好奇的、探索的。帶著好奇心，主動(dòng)去探索，就會(huì)有別樣的收獲。

　　以下僅為個(gè)人的粗淺體會(huì)，拋磚引玉，期待與廣大考生交流切磋。

　　一、內(nèi)容

　　1. 二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的解為什么是這個(gè)樣子?

　　盡管二階常系數(shù)齊次和非齊次線(xiàn)性微分方程考綱有明確要求，但我相信仍不少考生沒(méi)有思考過(guò)這個(gè)問(wèn)題。他們可能覺(jué)得微分方程會(huì)識(shí)別類(lèi)型，記住解法就行了，沒(méi)必要知道為什么要這樣解。有的老師也給學(xué)生建議：“像背單詞一樣把二階常系數(shù)齊次和非齊次線(xiàn)性微分方程的解法背下來(lái)”。這樣有個(gè)問(wèn)題：很容易忘。如何對(duì)抗遺忘?思考!多思考，找到知識(shí)之間的聯(lián)系就不容易忘了。如何思考?提問(wèn)是思考的一個(gè)開(kāi)端。拒絕機(jī)械地記憶，能簡(jiǎn)單推導(dǎo)的可以推導(dǎo);不好推導(dǎo)的，可以“理解性地記憶”。比如上面的問(wèn)題，咱們可以把三種形式的解代入微分方程中算算，對(duì)理解，對(duì)記憶都有幫助。

　　2. 考研數(shù)學(xué)中有不少“推廣”，有多少同學(xué)總結(jié)過(guò)這些嗎：有多少推廣?推廣前后有哪些相同和不同?

　　(1)一維隨機(jī)變量與多維隨機(jī)變量

　　在學(xué)習(xí)多維隨機(jī)變量時(shí)，我們可以先回顧一維隨機(jī)變量的內(nèi)容。那么，關(guān)于一維隨機(jī)變量我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容呢?

　　首先是定義，什么是隨機(jī)變量?隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的函數(shù)(與高數(shù)中的函數(shù)不同)。它的作用是把隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果數(shù)量化了，便于用數(shù)學(xué)工具處理。那么什么是二維隨機(jī)變量(多維我們主要考慮二維)?就是把兩個(gè)定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)變量放在一起考慮，或者說(shuō)是定義在樣本空間上的向量值函數(shù)。

　　繼續(xù)回憶：如何描述一個(gè)隨機(jī)變量X?通用的工具是不是分布函數(shù)?分布函數(shù)F(x)是什么?它是概率，是隨機(jī)變量X落入(負(fù)無(wú)窮, x]這個(gè)區(qū)間的概率。那么推廣過(guò)來(lái)，我們要描述一個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)，也可以用分布函數(shù)。一維對(duì)應(yīng)著一元函數(shù)F(x)，二維自然對(duì)應(yīng)二元函數(shù)F(x, y);一維分布函數(shù)是X落入一個(gè)區(qū)間的概率，相應(yīng)地二維分布函數(shù)是(X,Y)落入一個(gè)區(qū)域的概率，與(負(fù)無(wú)窮, x]這個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)，這個(gè)區(qū)域是(負(fù)無(wú)窮, x]乘(負(fù)無(wú)窮, y]。

　　在討論了分布函數(shù)的概念后，我們可以進(jìn)一步討論分布函數(shù)的性質(zhì)。思考一下，一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)有哪些性質(zhì)?“單調(diào)不減”，“0,1之間”和“右連續(xù)”，并且這三條性質(zhì)合起來(lái)是一個(gè)函數(shù)可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充要條件。那么推廣一下，不難得到二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì)，有需要注意的地方嗎?第一條和第三條性質(zhì)需要加上“關(guān)于x”(或者“關(guān)于y”)?！瓣P(guān)于”是什么意思?就是把另一個(gè)變量固定，再考慮問(wèn)題。第二條性質(zhì)推廣前的部分內(nèi)容是F(正無(wú)窮)=1，F(xiàn)(負(fù)無(wú)窮)=0，推廣之后變?yōu)镕(正無(wú)窮,正無(wú)窮)=1，F(xiàn)(負(fù)無(wú)窮，y)=0，F(xiàn)(x,負(fù)無(wú)窮)=0，F(xiàn)(負(fù)無(wú)窮,負(fù)無(wú)窮)=0。為什么會(huì)這樣?關(guān)鍵在F(x, y)中那個(gè)逗號(hào)，是“且”的意思。還有一條性質(zhì)可以結(jié)合圖形來(lái)理解，考得不多。當(dāng)然二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的這幾條性質(zhì)是否是充要條件?這點(diǎn)考研不要求。

　　我們知道，描述一維隨機(jī)變量，除了分布函數(shù)外，還有分布律和概率密度。它們是與離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的。那么二維隨機(jī)變量是否也有離散型和連續(xù)型，也有相應(yīng)的分布律和概率密度?對(duì)應(yīng)推廣過(guò)來(lái)不就行了?

　　下面的這些“推廣”，你能否自己總結(jié)?

　　(2)一元函數(shù)極限與二重極限

　　(3)一元函數(shù)連續(xù)與二元函數(shù)連續(xù)

　　(4)一元函數(shù)可微與多元函數(shù)可微

　　(5)定積分與二重積分

　　(6)二重積分與三重積分