2015年考研高數(shù)：微分方程_跨考網(wǎng)

　　第七章：微分方程

　　考研要求

　　1.了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念。

　　2.掌握可分離變量的微分方程，會用簡單變量代換，解某些微分方程

　　3.會解奇次微分方程，會用簡單變量代換解某些微分方程

　　4.掌握一階線性微分方程的解法，會解伯努利方程

　　5.會用降階法解下列微分方程 y"=f(x,y')

　　6.y"=f(y,y')

　　7.掌握二階常系數(shù)齊次微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次微分方程

　　8.會解自由項為多項式，指數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，以及他們和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

　　9.會解歐拉方程。

　　微分方程的基本公式和定理

　　1、多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P(x，y)以任何方式趨于P0(x0，y0)時，函數(shù)都無限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0，y0)時，即使函數(shù)無限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過來，如果當(dāng)P(x，y)以不同方式趨于P0(x0，y0)時，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù)：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0

　　2、多元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)函數(shù)f(x，y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0，y0)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)則稱f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)連續(xù)。

　　性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。

　　性質(zhì)(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。

　　3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn)必定連續(xù)，但對于多元函數(shù)來說，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。這是因為各偏導(dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于P0時，函數(shù)值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點(diǎn)P按任何方式趨于P0時，函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。

　　4、多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導(dǎo)。

　　5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(diǎn)(x，y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。

　　6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0，y0)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零。

　　定理(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處是否取得極值的條件如下：(1)AC-B2>0時具有極值，且當(dāng)A<0時有極大值，當(dāng)A>0時有極小值;(2)AC-B2<0時沒有極值;(3)AC-B2=0時可能有也可能沒有。

　　7、多元函數(shù)極值存在的解法(1)解方程組fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切實數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。

　　(2)對于每一個駐點(diǎn)(x0，y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.(3)定出AC-B2的符號，按充分條件進(jìn)行判定f(x0，y0)是否是極大值、極小值。

　　注意：在考慮函數(shù)的極值問題時，除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外，如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，那么對這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮在內(nèi)。