2011年考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)：線(xiàn)性代數(shù)做題技巧_跨考網(wǎng)

2011年考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)：線(xiàn)性代數(shù)做題技巧

一、注重對(duì)基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。

線(xiàn)性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(jià)(矩陣、向量組)，線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表出，線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)，極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

往年常有考生沒(méi)有準(zhǔn)確把握住概念的內(nèi)涵，也沒(méi)有注意相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，導(dǎo)致做題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如，矩陣A=(α1，α2，…，αm)與B=(β1，β2…，βm)等價(jià)，意味著經(jīng)過(guò)初等變換可由A得到B，要做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵是看秩r(A)與r(B)是否相等，而向量組α1，α2，…αm與β1，β2，…βm等價(jià)，說(shuō)明這兩個(gè)向量組可以互相線(xiàn)性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時(shí)，并不能保證它們必能互相線(xiàn)性表現(xiàn)，也就得不出向量組等價(jià)的信息，因此，由向量組α1，α2，…αm與β1，β2，…βm等價(jià)，可知矩陣A=(α1，α2，…αm)與B=(β1，β2，…βm)等價(jià)，但矩陣A與B等價(jià)并不能保證這兩個(gè)向量組等價(jià)。又如，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A與B合同，即存在可逆矩陣C使CTAC=B，要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，關(guān)鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負(fù)慣性指數(shù)是否相同，而A與B相似是指有可逆矩陣P使P-1AP=B成立，進(jìn)而知A與B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、負(fù)慣性指數(shù)相同，但正負(fù)慣性指數(shù)相同時(shí)，并不能保證特征值相同，因此，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A～B?A?B，即相似是合同的充分條件。

線(xiàn)性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過(guò)關(guān)，重要的有：行列式(數(shù)字型、字母型)的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，線(xiàn)性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線(xiàn)性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。

二、注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識(shí)要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。

線(xiàn)性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問(wèn)自己做得對(duì)不對(duì)?再問(wèn)做得好不好?只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開(kāi)闊了。

例如：設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB=0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax=0的解，再根據(jù)基礎(chǔ)解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系，可以有 r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n 進(jìn)而可求矩陣A或B中的一些參數(shù)。再如，若A是n階矩陣可以相似對(duì)角化，那么，用分塊矩陣處理P-1AP=∧可知A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，P就是由A的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量所構(gòu)成，再由特征向量與基礎(chǔ)解系間的聯(lián)系可知此時(shí)若λi是ni重特征值，則齊次方程組(λiE-A)x=0的基礎(chǔ)解系由ni個(gè)解向量組成，進(jìn)而可知秩r(λiE-A)=n-ni，那么，如果A不能相似對(duì)角化，則A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)

又比如，對(duì)于n階行列式我們知道：若|A|=0，則Ax=0必有非零解，而Ax=b沒(méi)有惟一解(可能有無(wú)窮多解，也可能無(wú)解)，而當(dāng)|A|≠0時(shí)，可用克萊姆法則求Ax=b的惟一解;可用|A|證明矩陣A是否可逆，并在可逆時(shí)通過(guò)伴隨矩陣來(lái)求A-1;對(duì)于n個(gè)n維向量α1，α2，…αn可以利用行列式|A|=|α1α2…αn|是否為零來(lái)判斷向量組的線(xiàn)性相關(guān)性;矩陣A的秩r(A)是用A中非零子式的最高階數(shù)來(lái)定義的，若r(A)

凡此種種，正是因?yàn)榫€(xiàn)性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大，同學(xué)們整理時(shí)要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。

三、注重邏輯性與敘述表述

線(xiàn)性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過(guò)證明題可以了解考生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還應(yīng)注意語(yǔ)言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明。

線(xiàn)性代數(shù)中常見(jiàn)的證明題型有：證|A|=0;證向量組α1，α2，…αt的線(xiàn)性相關(guān)性，亦可引伸為證α1，α2…，αt是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系;證秩的等式或不等式;證明矩陣的某種性質(zhì)，如對(duì)稱(chēng)，可逆，正交，正定，可對(duì)角化，零矩陣等;證齊次方程組是否有非零解;線(xiàn)性方程組是否有解(亦即β能否由α1，α2…，αs線(xiàn)性表出);對(duì)給出的兩個(gè)方程組論證其同解性或有無(wú)公共解;證二次型的正定性，規(guī)范形等。

總之，數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，有各種延伸或變式，同學(xué)們要在考試中取得好成績(jī)，一定要認(rèn)真仔細(xì)地復(fù)習(xí)，華而不實(shí)靠押題碰運(yùn)氣是行不通的，必須要重視三基，多思多議，不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，做到融會(huì)貫通。