備考2015年考研高數(shù)復(fù)習(xí)指導(dǎo)與基本公式:中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用_跨考網(wǎng)

最后更新時(shí)間:2014-04-13 00:52:31
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  學(xué)習(xí)要求:

  1.理解并會(huì)用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理與泰勒(Taylor)中值定理,了解并會(huì)用柯西(Cauchy)中值定理

  2.找我用洛必達(dá)(L'Hospital)法則求未定式極限的方法。

  3.理解函數(shù)的極值概念,掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法,掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及簡(jiǎn)單應(yīng)用。

  4.了解曲率和曲率半徑的概念,會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。

  5.會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性,會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線,會(huì)描繪函數(shù)的圖形。

  中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的基本公式與定理

  1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b),那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

  2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

  3、定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F’(x)在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零,那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ,使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

  4、洛必達(dá)法則應(yīng)用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

  5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么:(1)如果在(a,b)內(nèi)f’(x)>0,那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;(2)如果在(a,b)內(nèi)f’(x)<0,那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)減少。

  如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù),那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間,就能保證f’(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào),因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。

  6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),如果存在著點(diǎn)x0的一個(gè)去心鄰域,對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x,f(x)f(x0)均成立,就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。

  在函數(shù)取得極值處,曲線上的切線是水平的,但曲線上有水平曲線的地方,函數(shù)不一定取得極值,即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)),但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。

  定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零,即f’(x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo),且f’(x0)=0,那么:(1)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí),f’(x)恒為正;當(dāng)x去 x0右側(cè)臨近的值時(shí),f’(x)恒為負(fù),那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí),f’(x)恒為負(fù);當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí),f’(x)恒為正,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;(3)如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)臨近的值時(shí),f’(x)恒為正或恒為負(fù),那么函數(shù) f(x)在x0處沒(méi)有極值。

  定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0那么:(1)當(dāng)f’’(x0)& lt;0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)當(dāng)f’’(x0)>0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;駐點(diǎn)有可能是極值點(diǎn),不是駐點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。

  7、函數(shù)的凹凸性及其判定設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù),如果對(duì)任意兩點(diǎn)x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)] /2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的;如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。

  定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么(1)若在(a,b)內(nèi)f’’(x)>0,則 f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)f’’(x)<0,則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凸的。

  判斷曲線拐點(diǎn)(凹凸分界點(diǎn))的步驟(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0,解出這方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)的實(shí)根;(3)對(duì)于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根x0,檢查f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近的符號(hào),如果f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號(hào),那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí),點(diǎn) (x0,f(x0))是拐點(diǎn),當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí),點(diǎn)(x0,f(x0))不是拐點(diǎn)。

  在做函數(shù)圖形的時(shí)候,如果函數(shù)有間斷點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn),這些點(diǎn)也要作為分點(diǎn)。

  2022考研初復(fù)試已經(jīng)接近尾聲,考研學(xué)子全面進(jìn)入2023屆備考,跨考為23考研的考生準(zhǔn)備了10大課包全程準(zhǔn)備、全年復(fù)習(xí)備考計(jì)劃、目標(biāo)院校專業(yè)輔導(dǎo)、全真復(fù)試模擬練習(xí)和全程針對(duì)性指導(dǎo);2023考研的小伙伴針也已經(jīng)開始擇校和復(fù)習(xí)了,跨考考研暢學(xué)5.0版本全新升級(jí),無(wú)論你在校在家都可以更自如的完成你的考研復(fù)習(xí),暑假集訓(xùn)營(yíng)帶來(lái)了院校專業(yè)初步選擇,明確方向;考研備考全年規(guī)劃,核心知識(shí)點(diǎn)入門;個(gè)性化制定備考方案,助你贏在起跑線,早出發(fā)一點(diǎn)離成功就更近一點(diǎn)!

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