線性代數(shù)的復習_跨考網(wǎng)
一、“早”.提倡一個“早”字,是提醒考生考研數(shù)學備考要早計劃、早安排、早動手.因為數(shù)學是一門思維嚴謹、邏輯性強、相對比較抽象的學科.和一些記憶性較多的學科不同,數(shù)學需要理解的概念多,方法又靈活多變,而理解概念,特別是理解比較抽象的概念是一個漸近的過程,它需要思考、消化,需要琢磨、需要從不同的角度、不同的側(cè)面的深入研究,總之它需要時間,任何搞突擊,搞速成的思想不可取,這對大多數(shù)考生而言,不可能取得成功;另一方面,早計劃、早安排、早動手是采取“笨鳥先飛”之策,這是考研的激烈競爭現(xiàn)實所要求的,早一天準備,多一分成績,多一份把握,現(xiàn)在不少大一、大二的在校生已經(jīng)在準備2~3年后的考研,這似乎是早了點,但作為一個目標、作為一個追求,無可非議.作為2001年的考生,從現(xiàn)在開始備考,恐怕已經(jīng)不算太早了.
二、“綱”.突出一個綱字,就是要認真研究考試大綱,要根據(jù)考試大綱規(guī)定的考試內(nèi)容、考試要求、考試樣題有計劃地、認真地、全面地、系統(tǒng)地復習備考,加強備考的針對性.
由于全國基礎(chǔ)數(shù)學教材(高等數(shù)學,線性代數(shù),概率論和數(shù)理統(tǒng)計)并不統(tǒng)一,各學校、各專業(yè)對這些課程要求的層次也各不相同,因此教育部并沒有指定統(tǒng)一的教材或參考書作為命題的依據(jù),而是以教育部制定的《全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學考試大綱》(下稱《大綱》)作為考試的法規(guī)性文件,命題以《大綱》為依據(jù),考生備考復習當然也應以《大綱》為依據(jù).
為了讓廣大考生對“考什么”有一定的了解(不是盲目的備考),教育部考試中心命制的試題,每年都具有穩(wěn)定性、連續(xù)性的特點.《大綱》提供的樣題及歷屆試題也在于讓考生了解“考什么”.歷屆試題中,從來沒有出過偏題、怪題,也沒有出過超過大綱范圍的超綱題.當然,一份好的試題,首先要有好的區(qū)分度,使高水平考生考出好成績,因此試題中難、易試題要有恰當?shù)拇钆洌辉囶}的總量必須有一定的限制,同時試題還要有盡可能大的覆蓋面,因此一味地去做難題,甚至怪題、偏題是不可取的,“題海戰(zhàn)術(shù)”不能替代全面、系統(tǒng)的復習,由于試題有極大的覆蓋面,每年試題幾乎都要覆蓋所有的章節(jié),因此偏廢某部分內(nèi)容也是不恰當?shù)模魏巍安骂}”及僥幸心理都會導致失?。挥懈鶕?jù)大綱,全面、系統(tǒng)地復習,不留遺漏,才不會留下遺憾.
請廣大考生留意,今年《大綱》有一定的變化:所有的近似計算取消了,特別是數(shù)學試卷二,“線性代數(shù)初步”中取消了“初步”兩字,增考了“特征值、特征向量”一章的內(nèi)容.
三、“基”.強調(diào)一個“基”字,是指要強調(diào)數(shù)學學習中的三基,即要重視基本概念的理解,基本方法的掌握,基本運算的熟練.
基本概念理解不透徹,對解題會帶來思維上的困難和混亂.因此對概念必須搞清它的內(nèi)涵,還要研究它的外延,要理解正面的含義,還要思考、理解概念的側(cè)面、反面.例如關(guān)于矩陣的秩,教材中的定義是:A是陰Xn矩陣,若A中有一個r階子式不為零,所有r階以上子式(如果它還有的話)均為零,則稱A的秩為r,記成rank(A):r(或r(A)=r,秩A=r).顯然,定義中內(nèi)涵的要點有:1.A中至少有一個r階子式不為零;2.所有r階以上均為零.3.若所有r+1子式都為零,則必有所有r階以上子式均為零.要點2和3是等價條件,至于r階子式是否可以為零?小于r階的子式是否可以為零?所有r-1階的子式是否可以全部為零?這些都是秩的概念的外延內(nèi)容,如果這些概念搞清楚了。那么下述選擇題就會迎刃而解.
例1 設(shè)A是m×n矩陣,r(A)=r
(A)至少有一個r階子式不為零,沒有等于零的r-1階子式.
(B)有不等于零的r階子式,沒有不等于零的r+1階子式.
(C)有等于零的r階子式,沒有不等于零的r+1階子式.
(D)任何r階子式不等于零,任何r+1階子式都等于零.
答案:(B)
基本方法要熟練掌握.熟練掌握不等于死記硬背,相反要抓問題的實質(zhì),要在理解的基礎(chǔ)上適當記憶.把需要記憶的東西縮小到最低限度,很多方法可以通過練習來記住,例如一個實對稱矩陣,一定存在正交矩陣,通過正交變換化為對角陣,其步驟較多,但通過練習,不難解決.
基本計算要熟練.學習數(shù)學,離不開計算,計算要熟練,當然要做一定數(shù)量的習題,通過一定數(shù)量的習題,把計算的基本功練扎實.在練習過程中,自覺的提高運算能力,提高運算的準確性,養(yǎng)成良好的運算習慣和科學作風.特別對線性代數(shù)而言,運算并不復雜,大量的運算是大家早已熟練了的加法和乘法,從而養(yǎng)成良好的運算習慣和科學作風顯得尤為重要。例如線性代數(shù)的前四章中(行列式、矩陣、向量、方程組)絕大多數(shù)的運算是初等變換.用初等變換求行列式的值、求逆矩陣、求向量組(或矩陣)的秩、求向量組的極大線性無關(guān)組、求方程組的解等.可以想象,一旦初等變換過程中出現(xiàn)某個數(shù)值計算錯誤,那你的答案將是什么樣的結(jié)果?從歷屆數(shù)學試題來看,每年需要通過計算得分的內(nèi)容均在70%左右,可見計算能力培養(yǎng)的重要.只聽(聽各種輔導班)不練,只看(看各類輔導資料)不練,眼高手低,專找難題做,這并不適合一般考生的情況,在歷屆考生中,不乏有教訓慘痛的人.
四、“活”.線性代數(shù)中概念多、定理多、符號多、運算規(guī)律多,內(nèi)容相互縱橫交錯,知識前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點,故考生應通過全面系統(tǒng)的復習,充分理解概念,掌握定理的條件、結(jié)論及應用,熟悉符號的意義,掌握各種運算規(guī)律、計算方法,并及時進行總結(jié),抓聯(lián)系,抓規(guī)律,使零散的知識點串起來、連起來,使所學知識融會貫通,實現(xiàn)一個“活”字.
線性代數(shù)各章節(jié)的內(nèi)容,不是孤立割裂的,而是相互滲透、緊密聯(lián)系的.如A是n階方陣,若,|A|≠0(稱A為非奇陣).<=>A是可逆陣.<=>有n階方陣B,使得AB=BA=E.<=>B=A-1=A*/|A|.<=>r(A)=n(稱A是滿秩陣).<=>存在若干個初等陣P1,P2,…,PN,使得PNPN-1…P1A=E.<=>(A┆E)→(E┆A-1).<=>A可表示成若干個可逆陣的乘積.<=>A可表示成若干個初等陣的積。<=>A的列向量組線性無關(guān)(列滿秩).<=>AX=0,唯一零解.<=>A的行向量組線性無關(guān)(行滿秩).<=>A的列(行)向量組是Rn空間的基.<=>任何n維列向量b均可由A的列向量線性表出(且表出法唯一).<=>對任意的列向量b,方程組AX=b有唯一解,且唯一解為A-1b<=>A沒有零特征值,即λi≠O,i=1,2,…,n.<=A是正定陣(正交陣,…).
這種知識間的相互聯(lián)系、滲透,給綜合命題創(chuàng)造了條件,同樣一個試題,可以從不同的角度有多種命制試題的方法.
例2 (2001年數(shù)學一第九題)設(shè)α1,α2,…,αs,是線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系,β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,βs=t1αs+t2α1,試問t1,t2滿足什么條件時,β1,β2,…,βs也是AX=0的基礎(chǔ)解系.
解析 本題的答題要點是:(1)對任意t1,t2,βi,i=1,2,…,s仍是AX=0的解;(2)對任意t1,t2,β1,β2,…,βs向量個數(shù)是s;(3)β1,β2,…,βs,線性無關(guān)<=>t1s+(一1)n+1t2s≠0.
滿足(1)、(2)、(3)時,即,t1s+(一1)n+1t2s一1)”≠0時,β1,β2,…,βs仍是AX=0的基礎(chǔ)解系.
變式(1) (改變成線性相關(guān)性試題)
已知向量組α1,α2,…,αs線性無關(guān),β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+ t2α3,…,βs=t1αs+t2α1,試問t1,t2滿足什么條件時,β1,β2,…,βs線性無關(guān).
變式(2) (改變成向量組的秩的試題)
已知向量組α1,α2,…,αs的秩為s.β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,βs=t1αs+ t2α1,試問t1,t2滿足什么條件時,r(β1,β2,…,βs)=s.
變式(3) (改變成等價向量組的試題)
??? 已知α1,α2,…,αs線性無關(guān),β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,βs=t1αs+t2α1,試問t1,t2滿足什么條件時,β1,β2,…,βs和α1,α2,…,αs是等價向量組.
變式(4) (改變成子空間的基的試題)
設(shè)y是Rn的子空間,α1,α2,…,αs是V的基,β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,βs=t1αs+t2α1,試問t1,t2滿足什么條件時,β1,β2,…,βs也是子空間V的基.
難道你不認為以上的各種變式基本上是一樣的嗎?它們的答題要點是什么呢?
改變試題難度,將向量個數(shù)s具體化,則成2001年數(shù)學試卷二第十二題.
變式(5) 已知α1,α2,α3,α4,是線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系,β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,β3=t1α3+t2α4,β4=t1α4+t2α3,,試問t1,t2滿足什么條件時,β1,β2,β3,β4,也是AX=0的基礎(chǔ)解系.
改變參數(shù),你不是可以“隨心所欲”嗎?
變式(6) 已知α1,α2,…,αs是AX=0的基礎(chǔ)解系,β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,βs=t1αs+t2α1,試問α1,α2,…,αs,滿足什么條件時,β1,β2,…,βs也是AX=0的基礎(chǔ)解系.
如果你體會不到以上各種變式實質(zhì)上是一樣的,那么你沒有學“活”線性代數(shù),你的知識點還是孤立的.
由于知識間的緊密聯(lián)系和滲透,而綜合考試試題不再依附于某章、某節(jié)(依附于某章、某節(jié)后面的習題,實際上是給解題人提供了用該章、該節(jié)的內(nèi)容和方法解題的提示),這會給考生解題帶來困難.學“活”并非易事,需要經(jīng)??偨Y(jié),廣開思路.
例3 已知A是n階正定陣,B是n階反對稱陣,證明A-B2是正定陣.
解析 本題題目本身有提示性,已知的是正定陣,要證的也是正定陣,顯然屬于二次型中有關(guān)正定性的試題,具體解答如下.
B是反對稱陣,故BT=-B.
任給X≠0,因A正定,故XTAX>O,又XT(一B2)X=XTBTBX=(BX)TBX≥0.
故有XT(A-B2)X=XT(A+(-B)B)X=XT(A+BTB)X=XTAX+(BX)TBX>O.
所以A-B2是正定陣.
變式(1) 已知A是n階正定陣,B是n階反對稱陣.證明A-B2是可逆陣.v這個變式要求證明A-B2可逆,但已知A正定.為了利用已知條件,還可以想到A-B2是否正定,即若證明了A-B2正定,自然也就證明了A-B2可逆.
變式(2) 已知B是n階反對稱陣,E是n階單位陣,證明E-B2可逆.
這個變式中,隱去了A是正定陣的條件,而是給了一個具體的正定陣E,要求想到用證正定的角度來證E-B2可逆,難度就相當大了,這需要經(jīng)驗的積累和總結(jié).
由于知識間的廣泛聯(lián)系和相互滲透,給不少題的一題多解創(chuàng)造了條件.你可以從各個不同的角度去研究試題,找到一個合適的切入點,從而最終找到問題的答案.
總之,重視三基,重視各章節(jié)之間的聯(lián)系,重視從多角度研究試題,重視靈活性和綜合性,重視應用,是取得理想成績的必由之路。
其實偶個人認為,在高數(shù)、線代、概率這三部分當中,線代是最簡單的了,也不像高數(shù)那么靈活多變,只要掌握了基本知識,多作些題,再細心一些,這部分拿高分很容易。
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