【跨考名師輔導(dǎo)】疑點(diǎn)解析:排列組合中的“分房”問題

最后更新時(shí)間:2020-12-08 10:55:28
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  在今年的教學(xué)中,仍然發(fā)現(xiàn)排列組合是很多同學(xué)的疑難點(diǎn),這部分內(nèi)容在理解上容易出現(xiàn)偏差。很多文科生在高中階段沒接觸過這部分內(nèi)容;有些地區(qū)高考對于排列組合的考查要求很低,導(dǎo)致很多考生在此的基礎(chǔ)十分薄弱;最直接的表現(xiàn)的表現(xiàn)就是對一類問題從邏輯上理解有偏差,而這些“想當(dāng)然”的理解乍一聽還有些道理,學(xué)生便以此作為依據(jù)在這個(gè)問題的認(rèn)識(shí)上自恰,形成了一些根深蒂固的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。比如今天要探討的“分房”問題。

  分房問題是排列組合里分派問題中的一種,需要用乘法原理解決。先看題目背景:將n個(gè)人等可能的任意分到m個(gè)房間里的分派種數(shù)。使用條件:(1)人不同;(2)房間不同;(3)任意分(房間可以重復(fù)使用)。解法是用分步乘法原理,讓n個(gè)人分為n步依次選擇房間,每個(gè)人都可選m個(gè)房間中的一種,有m種選法,共有種方法。先解釋使用條件:(1)人不同;若人相同,事實(shí)上人選哪個(gè)房間是沒有區(qū)別的,會(huì)產(chǎn)生大量重復(fù)情況;(2)房間不同;若房間相同,這個(gè)問題實(shí)際上成了把n個(gè)人分成了m個(gè)組,每組人任選,就成了分組問題;(3)任意分(房間可以重復(fù)使用);若每個(gè)房間只能被選一次,在下一步里人可選擇的房間將變少,不再是m種選法。

  來看這個(gè)典型問題:10個(gè)人分到8個(gè)房間入住,每間房可入住多人,有多少種住法?答案是。因?yàn)榧?、乙、丙、?hellip;…這10個(gè)人要住進(jìn)A,B,C,D……這8間房,甲可以有8種選擇,乙有8種選擇,丙有8種選擇……

  有同學(xué)問,為什么不是呢?按照這個(gè)同學(xué)的思路,房子A選人,有10種選擇;房子B選人,有10種選擇;房子C選人,有10種選擇……一共有種方法。這種想法乍一看有點(diǎn)道理,其實(shí)經(jīng)不起邏輯上的推敲。如果房子A選人,有10種選擇,假如選了甲,因?yàn)槿酥荒鼙贿x一次,或者說一個(gè)人不可能同時(shí)入住兩個(gè)房間,所以在下一步房子B選人,有10種選擇是不可能的,必然小于10種選擇。有同學(xué)又說,那就不重復(fù)選人:房子A選人,有10種選擇;房子B選人,有9種選擇;房子C選人,有8種選擇……顯然,這題就被曲解成了10個(gè)人入住8個(gè)房間,每個(gè)房間至少有一人入住,有多少種分派方法?這種問題要用分組再分配的方法解決。

  這類問題,我們把其中的元素分為兩類:可重復(fù)元素和不可重復(fù)元素??芍貜?fù)元素例如分房問題里的房,下車問題里的車站等,稱為“店”;不可重復(fù)元素比如分房問題里的人,下車問題里的人等,稱為“客”。計(jì)算結(jié)果簡記為()這樣一種指數(shù)形式。大家只需判斷出誰是“店”,將其個(gè)數(shù)放在底數(shù)位置,另一個(gè)元素放在指數(shù)位置即可。

  思考下面這個(gè)問題,5名學(xué)生爭奪三項(xiàng)比賽冠軍,獲得冠軍的可能情況有多少種?答案是,這題非常易錯(cuò),很多同學(xué)把規(guī)律用死了,認(rèn)為人一定是“客”,于是客選獎(jiǎng),為。假如所有人都選一種獎(jiǎng),而一種獎(jiǎng)只能由一個(gè)人獲得,顯然是錯(cuò)的。這里一個(gè)人是可以獲得多個(gè)獎(jiǎng)的,可重復(fù),因此看做店,獎(jiǎng)項(xiàng)不可重復(fù)獲得,看作客,因此是

  (本文為跨考教育教研室鄭良聰老師原創(chuàng),轉(zhuǎn)載請注明出處。)

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