【名師輔導(dǎo)】2021考研管綜數(shù)學(xué)絕對(duì)值的和函數(shù)精講
形如y=|x-a|+|x-b|的函數(shù),我們稱之為絕對(duì)值的和函數(shù),它的幾何意義就是x到數(shù)軸上兩點(diǎn)a和b的距離和,隨著x向數(shù)軸兩端取值,這個(gè)函數(shù)的值會(huì)越來越大,且沒有最大值。當(dāng)在x在a和b之間(包括端點(diǎn))取值,y值沒有變化,這個(gè)時(shí)候取得最小值|a-b|。我們下面以函數(shù)y=|x-a|+|x-b|為基礎(chǔ)進(jìn)行變形,來得到新的絕對(duì)值函數(shù)。
首先我們?cè)黾右幌陆^對(duì)值的數(shù)量,令y=|x-a|+|x-b|+|x-c|,幾何意義變成了x到三個(gè)點(diǎn)的距離和,沒有本質(zhì)的變化,仍然是取不到最大值,但是最小值有了變化。之前兩個(gè)點(diǎn)的時(shí)候,只要在兩點(diǎn)之間取值就可以取得最小值,三個(gè)點(diǎn)情況變得復(fù)雜了一點(diǎn),我們令,這樣b點(diǎn)是在其他兩點(diǎn)的中間,我們讓x在a,c兩點(diǎn)之間取值,這樣x到這兩點(diǎn)的距離和是固定的也是最小的,那么接下來我們只要讓x到b點(diǎn)的距離越小越好,顯然這兩點(diǎn)重合的時(shí)候最小,也就是說x=b時(shí)y取得最小值,也即是三個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)當(dāng)x取中間那個(gè)數(shù)的時(shí)候y取得最小值。同樣的方法,我們令絕對(duì)值的數(shù)量進(jìn)一步增加到n個(gè)的時(shí)候,函數(shù)變成
,我們只要將這n個(gè)點(diǎn)從小到大排序,如果n為奇數(shù),那x取中間的那個(gè)點(diǎn)的值就可以讓y取得最小值;如果n為偶數(shù),那x在中間的兩個(gè)點(diǎn)之間取值就可以讓y取得最小值,特別的,如果中間兩個(gè)點(diǎn)相等,那x的取值也只是一個(gè),并不是一個(gè)范圍。
第二我們改變一下x的系數(shù),令y=|2x-a|+|2x-b|,發(fā)現(xiàn)如果所有x的系數(shù)都相同的話,并沒有什么影響,因?yàn)榭梢栽O(shè)k=2x,那么函數(shù)變成y=|k-a|+|k-b|,和y=|x-a|+|x-b|的表現(xiàn)形式相同,求最值的方法也相同。但是如果我們只改變其中一個(gè)系數(shù),情況就不同,比如我們可以y=|2x-a|+|x-b|,這個(gè)時(shí)候它的幾何意義變成2x到a的距離與x到b的距離和,那這樣的函數(shù)我們?nèi)绾吻笞钪的?其實(shí)也很簡單,我們只要把絕對(duì)值拆開就可以了,具體如下
,這樣就變成了我們已經(jīng)解決過的第一類問題了,再進(jìn)一步進(jìn)行拓展y=|mx-a|+|nx-b|,只要把x的系數(shù)統(tǒng)一成一樣的就可以,所以就算m和n互質(zhì)也沒關(guān)系,甚至可以是分?jǐn)?shù)。
綜上我們?cè)儆龅浇^對(duì)值和函數(shù)的問題就能輕松的解決,無論是絕對(duì)值數(shù)量多,還是x的系數(shù)不統(tǒng)一,都不再是我們解決問題的障礙,通過簡單的變形都能很容易的找到令函數(shù)取得最小值的自變量取值范圍以及最小值。
(本文為跨考教育教研室梁軼群老師原創(chuàng),轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處。)
2022考研初復(fù)試已經(jīng)接近尾聲,考研學(xué)子全面進(jìn)入2023屆備考,跨考為23考研的考生準(zhǔn)備了10大課包全程準(zhǔn)備、全年復(fù)習(xí)備考計(jì)劃、目標(biāo)院校專業(yè)輔導(dǎo)、全真復(fù)試模擬練習(xí)和全程針對(duì)性指導(dǎo);2023考研的小伙伴針也已經(jīng)開始擇校和復(fù)習(xí)了,跨考考研暢學(xué)5.0版本全新升級(jí),無論你在校在家都可以更自如的完成你的考研復(fù)習(xí),暑假集訓(xùn)營帶來了院校專業(yè)初步選擇,明確方向;考研備考全年規(guī)劃,核心知識(shí)點(diǎn)入門;個(gè)性化制定備考方案,助你贏在起跑線,早出發(fā)一點(diǎn)離成功就更近一點(diǎn)!
考研院校專業(yè)選擇和考研復(fù)習(xí)計(jì)劃 | |||
2023備考學(xué)習(xí) | 2023線上線下隨時(shí)學(xué)習(xí) | 34所自劃線院校考研復(fù)試分?jǐn)?shù)線匯總 | |
2022考研復(fù)試最全信息整理 | 全國各招生院??佳袕?fù)試分?jǐn)?shù)線匯總 | ||
2023全日制封閉訓(xùn)練 | 全國各招生院??佳姓{(diào)劑信息匯總 | ||
2023考研先知 | 考研考試科目有哪些? | 如何正確看待考研分?jǐn)?shù)線? | |
不同院校相同專業(yè)如何選擇更適合自己的 | 從就業(yè)說考研如何擇專業(yè)? | ||
手把手教你如何選專業(yè)? | 高校研究生教育各學(xué)科門類排行榜 |
相關(guān)推薦
跨考考研課程
班型 | 定向班型 | 開班時(shí)間 | 高定班 | 標(biāo)準(zhǔn)班 | 課程介紹 | 咨詢 |
秋季集訓(xùn) | 沖刺班 | 9.10-12.20 | 168000 | 24800起 | 小班面授+專業(yè)課1對(duì)1+專業(yè)課定向輔導(dǎo)+協(xié)議加強(qiáng)課程(高定班)+專屬規(guī)劃答疑(高定班)+精細(xì)化答疑+復(fù)試資源(高定班)+復(fù)試課包(高定班)+復(fù)試指導(dǎo)(高定班)+復(fù)試班主任1v1服務(wù)(高定班)+復(fù)試面授密訓(xùn)(高定班)+復(fù)試1v1(高定班) | |
2023集訓(xùn)暢學(xué) | 非定向(政英班/數(shù)政英班) | 每月20日 | 22800起(協(xié)議班) | 13800起 | 先行階在線課程+基礎(chǔ)階在線課程+強(qiáng)化階在線課程+真題階在線課程+沖刺階在線課程+專業(yè)課針對(duì)性一對(duì)一課程+班主任全程督學(xué)服務(wù)+全程規(guī)劃體系+全程測試體系+全程精細(xì)化答疑+擇校擇專業(yè)能力定位體系+全年關(guān)鍵環(huán)節(jié)指導(dǎo)體系+初試加強(qiáng)課+初試專屬服務(wù)+復(fù)試全科標(biāo)準(zhǔn)班服務(wù) |